Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5190 / 5317
↖ ↑ ↗
← S 47.189713°
E 48.076172°		 ← 3 320.73 m → S 47.189713°
E 48.120117°		 →
↑
3 319.74 m
↓
↑
3 319.74 m
↓
S 47.219568°
E 48.076172°		 ← 3 318.86 m →
11 020 846 m²		 S 47.219568°
E 48.120117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63360595703125 y=0.64910888671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63360595703125 × 213)
    floor (0.63360595703125 × 8192)
    floor (5190.5)     		tx = 5190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64910888671875 × 213)
    floor (0.64910888671875 × 8192)
    floor (5317.5)     		ty = 5317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5190 / 5317 ti = "13/5190/5317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5190/5317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5190 ÷ 213
    5190 ÷ 8192     		x = 0.633544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5317 ÷ 213
    5317 ÷ 8192     		y = 0.6490478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633544921875 × 2 - 1) × π
    0.26708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.83908749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6490478515625 × 2 - 1) × π
    -0.298095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.936495270977417
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83908749} λ = 0.83908749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.936495270977417))-π/2
    2×atan(0.391999281940647)-π/2
    2×0.373590235619215-π/2
    0.74718047123843-1.57079632675     		φ = -0.82361586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83908749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.076172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82361586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.189713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5190 KachelY 5317 0.83908749 -0.82361586 48.076172 -47.189713
    Oben rechts KachelX + 1 5191 KachelY 5317 0.83985448 -0.82361586 48.120117 -47.189713
    Unten links KachelX 5190 KachelY + 1 5318 0.83908749 -0.82413693 48.076172 -47.219568
    Unten rechts KachelX + 1 5191 KachelY + 1 5318 0.83985448 -0.82413693 48.120117 -47.219568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82361586--0.82413693) × R
    0.000521070000000012 × 6371000     		dl = 3319.73697000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82361586--0.82413693) × R
    0.000521070000000012 × 6371000     		dr = 3319.73697000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83908749-0.83985448) × cos(-0.82361586) × R
    0.000766989999999912 × 0.679573032262128 × 6371000     		do = 3320.72906221346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83908749-0.83985448) × cos(-0.82413693) × R
    0.000766989999999912 × 0.679190678974484 × 6371000     		du = 3318.86069543898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82361586)-sin(-0.82413693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679573032262128-0.679190678974484)×R²
    abs(0.83985448-0.83908749)×0.000382353287644244×R²
    0.000766989999999912×0.000382353287644244×6371000²
    0.000766989999999912×0.000382353287644244×40589641000000     		ar = 11020846.0414173m²