Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4973 / 2388
↖ ↑ ↗
← N 59.800634°
E 38.540039°		 ← 2 457.96 m → N 59.800634°
E 38.583985°		 →
↑
2 458.76 m
↓
↑
2 458.76 m
↓
N 59.778522°
E 38.540039°		 ← 2 459.59 m →
6 045 530 m²		 N 59.778522°
E 38.583985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60711669921875 y=0.29156494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60711669921875 × 213)
    floor (0.60711669921875 × 8192)
    floor (4973.5)     		tx = 4973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29156494140625 × 213)
    floor (0.29156494140625 × 8192)
    floor (2388.5)     		ty = 2388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4973 / 2388 ti = "13/4973/2388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4973/2388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4973 ÷ 213
    4973 ÷ 8192     		x = 0.6070556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2388 ÷ 213
    2388 ÷ 8192     		y = 0.29150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6070556640625 × 2 - 1) × π
    0.214111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.67265058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29150390625 × 2 - 1) × π
    0.4169921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.31001959281689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67265058} λ = 0.67265058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31001959281689))-π/2
    2×atan(3.70624632730449)-π/2
    2×1.30725714470597-π/2
    2.61451428941194-1.57079632675     		φ = 1.04371796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67265058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.540039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04371796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.800634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4973 KachelY 2388 0.67265058 1.04371796 38.540039 59.800634
    Oben rechts KachelX + 1 4974 KachelY 2388 0.67341757 1.04371796 38.583985 59.800634
    Unten links KachelX 4973 KachelY + 1 2389 0.67265058 1.04333203 38.540039 59.778522
    Unten rechts KachelX + 1 4974 KachelY + 1 2389 0.67341757 1.04333203 38.583985 59.778522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04371796-1.04333203) × R
    0.000385929999999979 × 6371000     		dl = 2458.76002999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04371796-1.04333203) × R
    0.000385929999999979 × 6371000     		dr = 2458.76002999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67265058-0.67341757) × cos(1.04371796) × R
    0.000766990000000023 × 0.503010381404526 × 6371000     		do = 2457.95685353363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67265058-0.67341757) × cos(1.04333203) × R
    0.000766990000000023 × 0.503343895659368 × 6371000     		du = 2459.58656870204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04371796)-sin(1.04333203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.503010381404526-0.503343895659368)×R²
    abs(0.67341757-0.67265058)×0.000333514254842515×R²
    0.000766990000000023×0.000333514254842515×6371000²
    0.000766990000000023×0.000333514254842515×40589641000000     		ar = 6045529.68122769m²