Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4971 / 2405
↖ ↑ ↗
← N 59.422728°
E 38.452148°		 ← 2 485.79 m → N 59.422728°
E 38.496094°		 →
↑
2 486.60 m
↓
↑
2 486.60 m
↓
N 59.400365°
E 38.452148°		 ← 2 487.43 m →
6 183 213 m²		 N 59.400365°
E 38.496094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60687255859375 y=0.29364013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60687255859375 × 213)
    floor (0.60687255859375 × 8192)
    floor (4971.5)     		tx = 4971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29364013671875 × 213)
    floor (0.29364013671875 × 8192)
    floor (2405.5)     		ty = 2405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4971 / 2405 ti = "13/4971/2405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4971/2405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4971 ÷ 213
    4971 ÷ 8192     		x = 0.6068115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2405 ÷ 213
    2405 ÷ 8192     		y = 0.2935791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6068115234375 × 2 - 1) × π
    0.213623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67111659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2935791015625 × 2 - 1) × π
    0.412841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.29698075612024
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67111659} λ = 0.67111659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29698075612024))-π/2
    2×atan(3.65823487364251)-π/2
    2×1.30395928609032-π/2
    2.60791857218063-1.57079632675     		φ = 1.03712225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67111659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.452148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03712225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.422728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4971 KachelY 2405 0.67111659 1.03712225 38.452148 59.422728
    Oben rechts KachelX + 1 4972 KachelY 2405 0.67188359 1.03712225 38.496094 59.422728
    Unten links KachelX 4971 KachelY + 1 2406 0.67111659 1.03673195 38.452148 59.400365
    Unten rechts KachelX + 1 4972 KachelY + 1 2406 0.67188359 1.03673195 38.496094 59.400365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03712225-1.03673195) × R
    0.000390299999999844 × 6371000     		dl = 2486.601299999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03712225-1.03673195) × R
    0.000390299999999844 × 6371000     		dr = 2486.601299999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67111659-0.67188359) × cos(1.03712225) × R
    0.000766999999999962 × 0.508699941456092 × 6371000     		do = 2485.79125982173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67111659-0.67188359) × cos(1.03673195) × R
    0.000766999999999962 × 0.509035929098899 × 6371000     		du = 2487.4330825896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03712225)-sin(1.03673195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508699941456092-0.509035929098899)×R²
    abs(0.67188359-0.67111659)×0.000335987642807067×R²
    0.000766999999999962×0.000335987642807067×6371000²
    0.000766999999999962×0.000335987642807067×40589641000000     		ar = 6183213.13600491m²