Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4965 / 2397
↖ ↑ ↗
← N 59.601095°
E 38.188476°		 ← 2 472.65 m → N 59.601095°
E 38.232422°		 →
↑
2 473.41 m
↓
↑
2 473.41 m
↓
N 59.578851°
E 38.188476°		 ← 2 474.29 m →
6 117 909 m²		 N 59.578851°
E 38.232422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60614013671875 y=0.29266357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60614013671875 × 213)
    floor (0.60614013671875 × 8192)
    floor (4965.5)     		tx = 4965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29266357421875 × 213)
    floor (0.29266357421875 × 8192)
    floor (2397.5)     		ty = 2397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4965 / 2397 ti = "13/4965/2397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4965/2397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4965 ÷ 213
    4965 ÷ 8192     		x = 0.6060791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2397 ÷ 213
    2397 ÷ 8192     		y = 0.2926025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6060791015625 × 2 - 1) × π
    0.212158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.66651465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2926025390625 × 2 - 1) × π
    0.414794921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.30311667927161
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66651465} λ = 0.66651465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30311667927161))-π/2
    2×atan(3.68075052821794)-π/2
    2×1.30551584043885-π/2
    2.6110316808777-1.57079632675     		φ = 1.04023535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66651465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.188476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04023535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.601095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4965 KachelY 2397 0.66651465 1.04023535 38.188476 59.601095
    Oben rechts KachelX + 1 4966 KachelY 2397 0.66728164 1.04023535 38.232422 59.601095
    Unten links KachelX 4965 KachelY + 1 2398 0.66651465 1.03984712 38.188476 59.578851
    Unten rechts KachelX + 1 4966 KachelY + 1 2398 0.66728164 1.03984712 38.232422 59.578851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04023535-1.03984712) × R
    0.000388229999999989 × 6371000     		dl = 2473.41332999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04023535-1.03984712) × R
    0.000388229999999989 × 6371000     		dr = 2473.41332999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66651465-0.66728164) × cos(1.04023535) × R
    0.000766990000000023 × 0.506017276380096 × 6371000     		do = 2472.65002565549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66651465-0.66728164) × cos(1.03984712) × R
    0.000766990000000023 × 0.506352095674761 × 6371000     		du = 2474.28611789223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04023535)-sin(1.03984712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.506017276380096-0.506352095674761)×R²
    abs(0.66728164-0.66651465)×0.000334819294665389×R²
    0.000766990000000023×0.000334819294665389×6371000²
    0.000766990000000023×0.000334819294665389×40589641000000     		ar = 6117908.97689873m²