Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4958 / 2398
↖ ↑ ↗
← N 59.578851°
E 37.880859°		 ← 2 474.29 m → N 59.578851°
E 37.924805°		 →
↑
2 475.13 m
↓
↑
2 475.13 m
↓
N 59.556592°
E 37.880859°		 ← 2 475.92 m →
6 126 214 m²		 N 59.556592°
E 37.924805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60528564453125 y=0.29278564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60528564453125 × 213)
    floor (0.60528564453125 × 8192)
    floor (4958.5)     		tx = 4958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29278564453125 × 213)
    floor (0.29278564453125 × 8192)
    floor (2398.5)     		ty = 2398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4958 / 2398 ti = "13/4958/2398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4958/2398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4958 ÷ 213
    4958 ÷ 8192     		x = 0.605224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2398 ÷ 213
    2398 ÷ 8192     		y = 0.292724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.605224609375 × 2 - 1) × π
    0.21044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.66114572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292724609375 × 2 - 1) × π
    0.41455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.30234968887769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66114572} λ = 0.66114572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30234968887769))-π/2
    2×atan(3.67792851028904)-π/2
    2×1.30532172104752-π/2
    2.61064344209504-1.57079632675     		φ = 1.03984712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66114572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.880859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03984712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.578851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4958 KachelY 2398 0.66114572 1.03984712 37.880859 59.578851
    Oben rechts KachelX + 1 4959 KachelY 2398 0.66191271 1.03984712 37.924805 59.578851
    Unten links KachelX 4958 KachelY + 1 2399 0.66114572 1.03945862 37.880859 59.556592
    Unten rechts KachelX + 1 4959 KachelY + 1 2399 0.66191271 1.03945862 37.924805 59.556592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03984712-1.03945862) × R
    0.000388499999999903 × 6371000     		dl = 2475.13349999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03984712-1.03945862) × R
    0.000388499999999903 × 6371000     		dr = 2475.13349999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66114572-0.66191271) × cos(1.03984712) × R
    0.000766989999999912 × 0.506352095674761 × 6371000     		do = 2474.28611789188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66114572-0.66191271) × cos(1.03945862) × R
    0.000766989999999912 × 0.506687071425887 × 6371000     		du = 2475.92297465207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03984712)-sin(1.03945862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.506352095674761-0.506687071425887)×R²
    abs(0.66191271-0.66114572)×0.000334975751125954×R²
    0.000766989999999912×0.000334975751125954×6371000²
    0.000766989999999912×0.000334975751125954×40589641000000     		ar = 6126214.25552987m²