Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4957 / 2396
↖ ↑ ↗
← N 59.623325°
E 37.836914°		 ← 2 471.01 m → N 59.623325°
E 37.880859°		 →
↑
2 471.88 m
↓
↑
2 471.88 m
↓
N 59.601095°
E 37.836914°		 ← 2 472.65 m →
6 110 084 m²		 N 59.601095°
E 37.880859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60516357421875 y=0.29254150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60516357421875 × 213)
    floor (0.60516357421875 × 8192)
    floor (4957.5)     		tx = 4957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29254150390625 × 213)
    floor (0.29254150390625 × 8192)
    floor (2396.5)     		ty = 2396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4957 / 2396 ti = "13/4957/2396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4957/2396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4957 ÷ 213
    4957 ÷ 8192     		x = 0.6051025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2396 ÷ 213
    2396 ÷ 8192     		y = 0.29248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6051025390625 × 2 - 1) × π
    0.210205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.66037873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29248046875 × 2 - 1) × π
    0.4150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30388366966553
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66037873} λ = 0.66037873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30388366966553))-π/2
    2×atan(3.68357471143775)-π/2
    2×1.30570983145353-π/2
    2.61141966290706-1.57079632675     		φ = 1.04062334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66037873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.836914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04062334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.623325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4957 KachelY 2396 0.66037873 1.04062334 37.836914 59.623325
    Oben rechts KachelX + 1 4958 KachelY 2396 0.66114572 1.04062334 37.880859 59.623325
    Unten links KachelX 4957 KachelY + 1 2397 0.66037873 1.04023535 37.836914 59.601095
    Unten rechts KachelX + 1 4958 KachelY + 1 2397 0.66114572 1.04023535 37.880859 59.601095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04062334-1.04023535) × R
    0.000387990000000116 × 6371000     		dl = 2471.88429000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04062334-1.04023535) × R
    0.000387990000000116 × 6371000     		dr = 2471.88429000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66037873-0.66114572) × cos(1.04062334) × R
    0.000766990000000023 × 0.505682587869946 × 6371000     		do = 2471.0145724964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66037873-0.66114572) × cos(1.04023535) × R
    0.000766990000000023 × 0.506017276380096 × 6371000     		du = 2472.65002565549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04062334)-sin(1.04023535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.505682587869946-0.506017276380096)×R²
    abs(0.66114572-0.66037873)×0.000334688510149839×R²
    0.000766990000000023×0.000334688510149839×6371000²
    0.000766990000000023×0.000334688510149839×40589641000000     		ar = 6110083.50425204m²