Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4955 / 2395
↖ ↑ ↗
← N 59.645540°
E 37.749024°		 ← 2 469.38 m → N 59.645540°
E 37.792969°		 →
↑
2 470.16 m
↓
↑
2 470.16 m
↓
N 59.623325°
E 37.749024°		 ← 2 471.01 m →
6 101 793 m²		 N 59.623325°
E 37.792969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60491943359375 y=0.29241943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60491943359375 × 213)
    floor (0.60491943359375 × 8192)
    floor (4955.5)     		tx = 4955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29241943359375 × 213)
    floor (0.29241943359375 × 8192)
    floor (2395.5)     		ty = 2395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4955 / 2395 ti = "13/4955/2395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4955/2395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4955 ÷ 213
    4955 ÷ 8192     		x = 0.6048583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2395 ÷ 213
    2395 ÷ 8192     		y = 0.2923583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6048583984375 × 2 - 1) × π
    0.209716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.65884475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2923583984375 × 2 - 1) × π
    0.415283203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.30465066005945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65884475} λ = 0.65884475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30465066005945))-π/2
    2×atan(3.68640106160988)-π/2
    2×1.30590369414727-π/2
    2.61180738829454-1.57079632675     		φ = 1.04101106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65884475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.749024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04101106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.645540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4955 KachelY 2395 0.65884475 1.04101106 37.749024 59.645540
    Oben rechts KachelX + 1 4956 KachelY 2395 0.65961174 1.04101106 37.792969 59.645540
    Unten links KachelX 4955 KachelY + 1 2396 0.65884475 1.04062334 37.749024 59.623325
    Unten rechts KachelX + 1 4956 KachelY + 1 2396 0.65961174 1.04062334 37.792969 59.623325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04101106-1.04062334) × R
    0.00038771999999998 × 6371000     		dl = 2470.16411999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04101106-1.04062334) × R
    0.00038771999999998 × 6371000     		dr = 2470.16411999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65884475-0.65961174) × cos(1.04101106) × R
    0.000766990000000023 × 0.505348056223474 × 6371000     		do = 2469.37988585062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65884475-0.65961174) × cos(1.04062334) × R
    0.000766990000000023 × 0.505682587869946 × 6371000     		du = 2471.0145724964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04101106)-sin(1.04062334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.505348056223474-0.505682587869946)×R²
    abs(0.65961174-0.65884475)×0.000334531646472347×R²
    0.000766990000000023×0.000334531646472347×6371000²
    0.000766990000000023×0.000334531646472347×40589641000000     		ar = 6101792.64126538m²