Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4952 / 2391
↖ ↑ ↗
← N 59.734254°
E 37.617188°		 ← 2 462.85 m → N 59.734254°
E 37.661133°		 →
↑
2 463.67 m
↓
↑
2 463.67 m
↓
N 59.712097°
E 37.617188°		 ← 2 464.48 m →
6 069 645 m²		 N 59.712097°
E 37.661133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60455322265625 y=0.29193115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60455322265625 × 213)
    floor (0.60455322265625 × 8192)
    floor (4952.5)     		tx = 4952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29193115234375 × 213)
    floor (0.29193115234375 × 8192)
    floor (2391.5)     		ty = 2391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4952 / 2391 ti = "13/4952/2391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4952/2391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4952 ÷ 213
    4952 ÷ 8192     		x = 0.6044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2391 ÷ 213
    2391 ÷ 8192     		y = 0.2918701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6044921875 × 2 - 1) × π
    0.208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.65654378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2918701171875 × 2 - 1) × π
    0.416259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30771862163513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65654378} λ = 0.65654378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30771862163513))-π/2
    2×atan(3.69772816509399)-π/2
    2×1.30667786282865-π/2
    2.6133557256573-1.57079632675     		φ = 1.04255940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65654378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.617188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04255940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.734254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4952 KachelY 2391 0.65654378 1.04255940 37.617188 59.734254
    Oben rechts KachelX + 1 4953 KachelY 2391 0.65731077 1.04255940 37.661133 59.734254
    Unten links KachelX 4952 KachelY + 1 2392 0.65654378 1.04217270 37.617188 59.712097
    Unten rechts KachelX + 1 4953 KachelY + 1 2392 0.65731077 1.04217270 37.661133 59.712097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04255940-1.04217270) × R
    0.000386699999999962 × 6371000     		dl = 2463.66569999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04255940-1.04217270) × R
    0.000386699999999962 × 6371000     		dr = 2463.66569999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65654378-0.65731077) × cos(1.04255940) × R
    0.000766990000000023 × 0.504011364259162 × 6371000     		do = 2462.84814953622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65654378-0.65731077) × cos(1.04217270) × R
    0.000766990000000023 × 0.504345318204851 × 6371000     		du = 2464.48001325099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04255940)-sin(1.04217270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.504011364259162-0.504345318204851)×R²
    abs(0.65731077-0.65654378)×0.00033395394568847×R²
    0.000766990000000023×0.00033395394568847×6371000²
    0.000766990000000023×0.00033395394568847×40589641000000     		ar = 6069644.76928784m²