Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4948 / 2404
↖ ↑ ↗
← N 59.445075°
E 37.441407°		 ← 2 484.12 m → N 59.445075°
E 37.485352°		 →
↑
2 484.88 m
↓
↑
2 484.88 m
↓
N 59.422728°
E 37.441407°		 ← 2 485.76 m →
6 174 776 m²		 N 59.422728°
E 37.485352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60406494140625 y=0.29351806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60406494140625 × 213)
    floor (0.60406494140625 × 8192)
    floor (4948.5)     		tx = 4948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29351806640625 × 213)
    floor (0.29351806640625 × 8192)
    floor (2404.5)     		ty = 2404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4948 / 2404 ti = "13/4948/2404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4948/2404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4948 ÷ 213
    4948 ÷ 8192     		x = 0.60400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2404 ÷ 213
    2404 ÷ 8192     		y = 0.29345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60400390625 × 2 - 1) × π
    0.2080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.65347582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29345703125 × 2 - 1) × π
    0.4130859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29774774651416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65347582} λ = 0.65347582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29774774651416))-π/2
    2×atan(3.66104178094717)-π/2
    2×1.30415430567485-π/2
    2.60830861134971-1.57079632675     		φ = 1.03751228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65347582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.441407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03751228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.445075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4948 KachelY 2404 0.65347582 1.03751228 37.441407 59.445075
    Oben rechts KachelX + 1 4949 KachelY 2404 0.65424281 1.03751228 37.485352 59.445075
    Unten links KachelX 4948 KachelY + 1 2405 0.65347582 1.03712225 37.441407 59.422728
    Unten rechts KachelX + 1 4949 KachelY + 1 2405 0.65424281 1.03712225 37.485352 59.422728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03751228-1.03712225) × R
    0.000390030000000152 × 6371000     		dl = 2484.88113000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03751228-1.03712225) × R
    0.000390030000000152 × 6371000     		dr = 2484.88113000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65347582-0.65424281) × cos(1.03751228) × R
    0.000766989999999912 × 0.508364108829362 × 6371000     		do = 2484.11780667122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65347582-0.65424281) × cos(1.03712225) × R
    0.000766989999999912 × 0.508699941456092 × 6371000     		du = 2485.7588505483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03751228)-sin(1.03712225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508364108829362-0.508699941456092)×R²
    abs(0.65424281-0.65347582)×0.000335832626729538×R²
    0.000766989999999912×0.000335832626729538×6371000²
    0.000766989999999912×0.000335832626729538×40589641000000     		ar = 6174776.44025661m²