Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4928 / 2369
↖ ↑ ↗
← N 60.217991°
E 36.562500°		 ← 2 427.13 m → N 60.217991°
E 36.606445°		 →
↑
2 427.92 m
↓
↑
2 427.92 m
↓
N 60.196156°
E 36.562500°		 ← 2 428.74 m →
5 894 846 m²		 N 60.196156°
E 36.606445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60162353515625 y=0.28924560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60162353515625 × 213)
    floor (0.60162353515625 × 8192)
    floor (4928.5)     		tx = 4928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.28924560546875 × 213)
    floor (0.28924560546875 × 8192)
    floor (2369.5)     		ty = 2369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4928 / 2369 ti = "13/4928/2369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4928/2369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4928 ÷ 213
    4928 ÷ 8192     		x = 0.6015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2369 ÷ 213
    2369 ÷ 8192     		y = 0.2891845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6015625 × 2 - 1) × π
    0.203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.63813601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2891845703125 × 2 - 1) × π
    0.421630859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.32459241030139
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63813601} λ = 0.63813601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32459241030139))-π/2
    2×atan(3.76065223946723)-π/2
    2×1.31089926700323-π/2
    2.62179853400647-1.57079632675     		φ = 1.05100221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63813601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.562500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05100221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.217991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4928 KachelY 2369 0.63813601 1.05100221 36.562500 60.217991
    Oben rechts KachelX + 1 4929 KachelY 2369 0.63890300 1.05100221 36.606445 60.217991
    Unten links KachelX 4928 KachelY + 1 2370 0.63813601 1.05062112 36.562500 60.196156
    Unten rechts KachelX + 1 4929 KachelY + 1 2370 0.63890300 1.05062112 36.606445 60.196156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05100221-1.05062112) × R
    0.000381090000000084 × 6371000     		dl = 2427.92439000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05100221-1.05062112) × R
    0.000381090000000084 × 6371000     		dr = 2427.92439000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63813601-0.63890300) × cos(1.05100221) × R
    0.000766990000000023 × 0.496701457919985 × 6371000     		do = 2427.1283412593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63813601-0.63890300) × cos(1.05062112) × R
    0.000766990000000023 × 0.497032178033511 × 6371000     		du = 2428.74440287491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05100221)-sin(1.05062112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.496701457919985-0.497032178033511)×R²
    abs(0.63890300-0.63813601)×0.000330720113525251×R²
    0.000766990000000023×0.000330720113525251×6371000²
    0.000766990000000023×0.000330720113525251×40589641000000     		ar = 5894846.00645165m²