Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 486 / 502
↖ ↑ ↗
← N  3.513421°
W  9.140625°		 ← 39.018 km → N  3.513421°
W  8.789063°		 →
↑
39.026 km
↓
↑
39.026 km
↓
N  3.162455°
W  9.140625°		 ← 39.032 km →
1 523 km²		 N  3.162455°
W  8.789063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47509765625 y=0.49072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47509765625 × 210)
    floor (0.47509765625 × 1024)
    floor (486.5)     		tx = 486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.49072265625 × 210)
    floor (0.49072265625 × 1024)
    floor (502.5)     		ty = 502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 486 / 502 ti = "10/486/502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/486/502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 486 ÷ 210
    486 ÷ 1024     		x = 0.474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 502 ÷ 210
    502 ÷ 1024     		y = 0.490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474609375 × 2 - 1) × π
    -0.05078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15953400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.490234375 × 2 - 1) × π
    0.01953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0613592315136719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15953400} λ = -0.15953400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0613592315136719))-π/2
    2×atan(1.06328080956334)-π/2
    2×0.816058546024213-π/2
    1.63211709204843-1.57079632675     		φ = 0.06132077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15953400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.06132077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.513421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 486 KachelY 502 -0.15953400 0.06132077 -9.140625 3.513421
    Oben rechts KachelX + 1 487 KachelY 502 -0.15339808 0.06132077 -8.789063 3.513421
    Unten links KachelX 486 KachelY + 1 503 -0.15953400 0.05519526 -9.140625 3.162455
    Unten rechts KachelX + 1 487 KachelY + 1 503 -0.15339808 0.05519526 -8.789063 3.162455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.06132077-0.05519526) × R
    0.00612550999999999 × 6371000     		dl = 39025.62421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.06132077-0.05519526) × R
    0.00612550999999999 × 6371000     		dr = 39025.62421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15953400--0.15339808) × cos(0.06132077) × R
    0.00613592000000002 × 0.998120470650342 × 6371000     		do = 39018.4718595564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15953400--0.15339808) × cos(0.05519526) × R
    0.00613592000000002 × 0.998477128316837 × 6371000     		du = 39032.4143019097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.06132077)-sin(0.05519526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998120470650342-0.998477128316837)×R²
    abs(-0.15339808--0.15953400)×0.000356657666495286×R²
    0.00613592000000002×0.000356657666495286×6371000²
    0.00613592000000002×0.000356657666495286×40589641000000     		ar = 1522997038.44216m²