Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 479 / 414
↖ ↑ ↗
← N 32.546813°
W 11.601562°		 ← 32.953 km → N 32.546813°
W 11.250000°		 →
↑
33.007 km
↓
↑
33.007 km
↓
N 32.249975°
W 11.601562°		 ← 33.061 km →
1 089.46 km²		 N 32.249975°
W 11.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46826171875 y=0.40478515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46826171875 × 210)
    floor (0.46826171875 × 1024)
    floor (479.5)     		tx = 479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40478515625 × 210)
    floor (0.40478515625 × 1024)
    floor (414.5)     		ty = 414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 479 / 414 ti = "10/479/414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/479/414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 479 ÷ 210
    479 ÷ 1024     		x = 0.4677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 414 ÷ 210
    414 ÷ 1024     		y = 0.404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4677734375 × 2 - 1) × π
    -0.064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20248546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.404296875 × 2 - 1) × π
    0.19140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.601320468833984
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20248546} λ = -0.20248546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.601320468833984))-π/2
    2×atan(1.82452644073542)-π/2
    2×1.06942268884486-π/2
    2.13884537768971-1.57079632675     		φ = 0.56804905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20248546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.601562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56804905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.546813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 479 KachelY 414 -0.20248546 0.56804905 -11.601562 32.546813
    Oben rechts KachelX + 1 480 KachelY 414 -0.19634954 0.56804905 -11.250000 32.546813
    Unten links KachelX 479 KachelY + 1 415 -0.20248546 0.56286824 -11.601562 32.249975
    Unten rechts KachelX + 1 480 KachelY + 1 415 -0.19634954 0.56286824 -11.250000 32.249975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56804905-0.56286824) × R
    0.00518081000000004 × 6371000     		dl = 33006.9405100002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56804905-0.56286824) × R
    0.00518081000000004 × 6371000     		dr = 33006.9405100002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20248546--0.19634954) × cos(0.56804905) × R
    0.00613592000000002 × 0.842952167416165 × 6371000     		do = 32952.6408789605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20248546--0.19634954) × cos(0.56286824) × R
    0.00613592000000002 × 0.845728058505028 × 6371000     		du = 33061.1558643965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56804905)-sin(0.56286824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842952167416165-0.845728058505028)×R²
    abs(-0.19634954--0.20248546)×0.002775891088863×R²
    0.00613592000000002×0.002775891088863×6371000²
    0.00613592000000002×0.002775891088863×40589641000000     		ar = 1089459167.80365m²