Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4772 / 4646
↖ ↑ ↗
← S 23.483401°
E 29.707031°		 ← 4 481.77 m → S 23.483401°
E 29.750977°		 →
↑
4 481.11 m
↓
↑
4 481.11 m
↓
S 23.523700°
E 29.707031°		 ← 4 480.40 m →
20 080 229 m²		 S 23.523700°
E 29.750977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58258056640625 y=0.56719970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58258056640625 × 213)
    floor (0.58258056640625 × 8192)
    floor (4772.5)     		tx = 4772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.56719970703125 × 213)
    floor (0.56719970703125 × 8192)
    floor (4646.5)     		ty = 4646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4772 / 4646 ti = "13/4772/4646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4772/4646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4772 ÷ 213
    4772 ÷ 8192     		x = 0.58251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4646 ÷ 213
    4646 ÷ 8192     		y = 0.567138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58251953125 × 2 - 1) × π
    0.1650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51848551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567138671875 × 2 - 1) × π
    -0.13427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.421844716656494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51848551} λ = 0.51848551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.421844716656494))-π/2
    2×atan(0.655835871873769)-π/2
    2×0.580466832911491-π/2
    1.16093366582298-1.57079632675     		φ = -0.40986266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51848551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.707031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40986266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.483401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4772 KachelY 4646 0.51848551 -0.40986266 29.707031 -23.483401
    Oben rechts KachelX + 1 4773 KachelY 4646 0.51925250 -0.40986266 29.750977 -23.483401
    Unten links KachelX 4772 KachelY + 1 4647 0.51848551 -0.41056602 29.707031 -23.523700
    Unten rechts KachelX + 1 4773 KachelY + 1 4647 0.51925250 -0.41056602 29.750977 -23.523700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40986266--0.41056602) × R
    0.000703359999999986 × 6371000     		dl = 4481.10655999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40986266--0.41056602) × R
    0.000703359999999986 × 6371000     		dr = 4481.10655999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51848551-0.51925250) × cos(-0.40986266) × R
    0.000766990000000023 × 0.917175559172046 × 6371000     		do = 4481.77221564633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51848551-0.51925250) × cos(-0.41056602) × R
    0.000766990000000023 × 0.916895055063869 × 6371000     		du = 4480.40153420391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40986266)-sin(-0.41056602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917175559172046-0.916895055063869)×R²
    abs(0.51925250-0.51848551)×0.000280504108176038×R²
    0.000766990000000023×0.000280504108176038×6371000²
    0.000766990000000023×0.000280504108176038×40589641000000     		ar = 20080228.6189896m²