Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4771 / 4645
↖ ↑ ↗
← S 23.443089°
E 29.663086°		 ← 4 483.14 m → S 23.443089°
E 29.707031°		 →
↑
4 482.44 m
↓
↑
4 482.44 m
↓
S 23.483401°
E 29.663086°		 ← 4 481.77 m →
20 092 364 m²		 S 23.483401°
E 29.707031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58245849609375 y=0.56707763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58245849609375 × 213)
    floor (0.58245849609375 × 8192)
    floor (4771.5)     		tx = 4771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.56707763671875 × 213)
    floor (0.56707763671875 × 8192)
    floor (4645.5)     		ty = 4645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4771 / 4645 ti = "13/4771/4645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4771/4645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4771 ÷ 213
    4771 ÷ 8192     		x = 0.5823974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4645 ÷ 213
    4645 ÷ 8192     		y = 0.5670166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5823974609375 × 2 - 1) × π
    0.164794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51771852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5670166015625 × 2 - 1) × π
    -0.134033203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.421077726262573
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51771852} λ = 0.51771852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.421077726262573))-π/2
    2×atan(0.656339084642496)-π/2
    2×0.580818619060013-π/2
    1.16163723812003-1.57079632675     		φ = -0.40915909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51771852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.663086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40915909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.443089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4771 KachelY 4645 0.51771852 -0.40915909 29.663086 -23.443089
    Oben rechts KachelX + 1 4772 KachelY 4645 0.51848551 -0.40915909 29.707031 -23.443089
    Unten links KachelX 4771 KachelY + 1 4646 0.51771852 -0.40986266 29.663086 -23.483401
    Unten rechts KachelX + 1 4772 KachelY + 1 4646 0.51848551 -0.40986266 29.707031 -23.483401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40915909--0.40986266) × R
    0.000703569999999987 × 6371000     		dl = 4482.44446999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40915909--0.40986266) × R
    0.000703569999999987 × 6371000     		dr = 4482.44446999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51771852-0.51848551) × cos(-0.40915909) × R
    0.000766990000000023 × 0.917455693085462 × 6371000     		do = 4483.14108813454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51771852-0.51848551) × cos(-0.40986266) × R
    0.000766990000000023 × 0.917175559172046 × 6371000     		du = 4481.77221564633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40915909)-sin(-0.40986266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917455693085462-0.917175559172046)×R²
    abs(0.51848551-0.51771852)×0.000280133913416525×R²
    0.000766990000000023×0.000280133913416525×6371000²
    0.000766990000000023×0.000280133913416525×40589641000000     		ar = 20092363.8601081m²