Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4771 / 4579
↖ ↑ ↗
← S 20.756114°
E 29.663086°		 ← 4 569.35 m → S 20.756114°
E 29.707031°		 →
↑
4 568.71 m
↓
↑
4 568.71 m
↓
S 20.797201°
E 29.663086°		 ← 4 568.10 m →
20 873 173 m²		 S 20.797201°
E 29.707031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58245849609375 y=0.55902099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58245849609375 × 213)
    floor (0.58245849609375 × 8192)
    floor (4771.5)     		tx = 4771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.55902099609375 × 213)
    floor (0.55902099609375 × 8192)
    floor (4579.5)     		ty = 4579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4771 / 4579 ti = "13/4771/4579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4771/4579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4771 ÷ 213
    4771 ÷ 8192     		x = 0.5823974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4579 ÷ 213
    4579 ÷ 8192     		y = 0.5589599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5823974609375 × 2 - 1) × π
    0.164794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51771852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5589599609375 × 2 - 1) × π
    -0.117919921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.370456360263794
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51771852} λ = 0.51771852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.370456360263794))-π/2
    2×atan(0.690419178852859)-π/2
    2×0.604266899885661-π/2
    1.20853379977132-1.57079632675     		φ = -0.36226253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51771852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.663086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36226253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.756114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4771 KachelY 4579 0.51771852 -0.36226253 29.663086 -20.756114
    Oben rechts KachelX + 1 4772 KachelY 4579 0.51848551 -0.36226253 29.707031 -20.756114
    Unten links KachelX 4771 KachelY + 1 4580 0.51771852 -0.36297964 29.663086 -20.797201
    Unten rechts KachelX + 1 4772 KachelY + 1 4580 0.51848551 -0.36297964 29.707031 -20.797201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36226253--0.36297964) × R
    0.000717109999999965 × 6371000     		dl = 4568.70780999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36226253--0.36297964) × R
    0.000717109999999965 × 6371000     		dr = 4568.70780999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51771852-0.51848551) × cos(-0.36226253) × R
    0.000766990000000023 × 0.935097397890376 × 6371000     		do = 4569.34716028792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51771852-0.51848551) × cos(-0.36297964) × R
    0.000766990000000023 × 0.934843020272642 × 6371000     		du = 4568.10414576574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36226253)-sin(-0.36297964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935097397890376-0.934843020272642)×R²
    abs(0.51848551-0.51771852)×0.000254377617733725×R²
    0.000766990000000023×0.000254377617733725×6371000²
    0.000766990000000023×0.000254377617733725×40589641000000     		ar = 20873173.467227m²