Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4770 / 4573
↖ ↑ ↗
← S 20.509354°
E 29.619141°		 ← 4 576.76 m → S 20.509354°
E 29.663086°		 →
↑
4 576.16 m
↓
↑
4 576.16 m
↓
S 20.550509°
E 29.619141°		 ← 4 575.53 m →
20 941 192 m²		 S 20.550509°
E 29.663086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58233642578125 y=0.55828857421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58233642578125 × 213)
    floor (0.58233642578125 × 8192)
    floor (4770.5)     		tx = 4770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.55828857421875 × 213)
    floor (0.55828857421875 × 8192)
    floor (4573.5)     		ty = 4573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4770 / 4573 ti = "13/4770/4573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4770/4573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4770 ÷ 213
    4770 ÷ 8192     		x = 0.582275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4573 ÷ 213
    4573 ÷ 8192     		y = 0.5582275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582275390625 × 2 - 1) × π
    0.16455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51695153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5582275390625 × 2 - 1) × π
    -0.116455078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.365854417900269
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51695153} λ = 0.51695153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.365854417900269))-π/2
    2×atan(0.693603770153183)-π/2
    2×0.606420280886307-π/2
    1.21284056177261-1.57079632675     		φ = -0.35795576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51695153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.619141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35795576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.509354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4770 KachelY 4573 0.51695153 -0.35795576 29.619141 -20.509354
    Oben rechts KachelX + 1 4771 KachelY 4573 0.51771852 -0.35795576 29.663086 -20.509354
    Unten links KachelX 4770 KachelY + 1 4574 0.51695153 -0.35867404 29.619141 -20.550509
    Unten rechts KachelX + 1 4771 KachelY + 1 4574 0.51771852 -0.35867404 29.663086 -20.550509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35795576--0.35867404) × R
    0.000718280000000016 × 6371000     		dl = 4576.1618800001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35795576--0.35867404) × R
    0.000718280000000016 × 6371000     		dr = 4576.1618800001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51695153-0.51771852) × cos(-0.35795576) × R
    0.000766989999999912 × 0.936615000738027 × 6371000     		do = 4576.76291641919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51695153-0.51771852) × cos(-0.35867404) × R
    0.000766989999999912 × 0.936363102350712 × 6371000     		du = 4575.53201663981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35795576)-sin(-0.35867404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936615000738027-0.936363102350712)×R²
    abs(0.51771852-0.51695153)×0.000251898387314764×R²
    0.000766989999999912×0.000251898387314764×6371000²
    0.000766989999999912×0.000251898387314764×40589641000000     		ar = 20941192.4939337m²