Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4768 / 4574
↖ ↑ ↗
← S 20.550509°
E 29.531250°		 ← 4 575.59 m → S 20.550509°
E 29.575196°		 →
↑
4 574.95 m
↓
↑
4 574.95 m
↓
S 20.591652°
E 29.531250°		 ← 4 574.36 m →
20 930 290 m²		 S 20.591652°
E 29.575196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58209228515625 y=0.55841064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58209228515625 × 213)
    floor (0.58209228515625 × 8192)
    floor (4768.5)     		tx = 4768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.55841064453125 × 213)
    floor (0.55841064453125 × 8192)
    floor (4574.5)     		ty = 4574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4768 / 4574 ti = "13/4768/4574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4768/4574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4768 ÷ 213
    4768 ÷ 8192     		x = 0.58203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4574 ÷ 213
    4574 ÷ 8192     		y = 0.558349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58203125 × 2 - 1) × π
    0.1640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51541754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558349609375 × 2 - 1) × π
    -0.11669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.366621408294189
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51541754} λ = 0.51541754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.366621408294189))-π/2
    2×atan(0.693071986686763)-π/2
    2×0.606061141820308-π/2
    1.21212228364062-1.57079632675     		φ = -0.35867404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51541754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.531250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35867404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.550509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4768 KachelY 4574 0.51541754 -0.35867404 29.531250 -20.550509
    Oben rechts KachelX + 1 4769 KachelY 4574 0.51618454 -0.35867404 29.575196 -20.550509
    Unten links KachelX 4768 KachelY + 1 4575 0.51541754 -0.35939213 29.531250 -20.591652
    Unten rechts KachelX + 1 4769 KachelY + 1 4575 0.51618454 -0.35939213 29.575196 -20.591652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35867404--0.35939213) × R
    0.000718089999999949 × 6371000     		dl = 4574.95138999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35867404--0.35939213) × R
    0.000718089999999949 × 6371000     		dr = 4574.95138999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51541754-0.51618454) × cos(-0.35867404) × R
    0.000767000000000073 × 0.936363102350712 × 6371000     		do = 4575.59167233403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51541754-0.51618454) × cos(-0.35939213) × R
    0.000767000000000073 × 0.936110787693217 × 6371000     		du = 4574.35872237824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35867404)-sin(-0.35939213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936363102350712-0.936110787693217)×R²
    abs(0.51618454-0.51541754)×0.000252314657494979×R²
    0.000767000000000073×0.000252314657494979×6371000²
    0.000767000000000073×0.000252314657494979×40589641000000     		ar = 20930290.037757m²