Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4768 / 4571
↖ ↑ ↗
← S 20.427013°
E 29.531250°		 ← 4 579.28 m → S 20.427013°
E 29.575196°		 →
↑
4 578.58 m
↓
↑
4 578.58 m
↓
S 20.468189°
E 29.531250°		 ← 4 578.05 m →
20 963 797 m²		 S 20.468189°
E 29.575196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58209228515625 y=0.55804443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58209228515625 × 213)
    floor (0.58209228515625 × 8192)
    floor (4768.5)     		tx = 4768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.55804443359375 × 213)
    floor (0.55804443359375 × 8192)
    floor (4571.5)     		ty = 4571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4768 / 4571 ti = "13/4768/4571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4768/4571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4768 ÷ 213
    4768 ÷ 8192     		x = 0.58203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4571 ÷ 213
    4571 ÷ 8192     		y = 0.5579833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58203125 × 2 - 1) × π
    0.1640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51541754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5579833984375 × 2 - 1) × π
    -0.115966796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.364320437112427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51541754} λ = 0.51541754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.364320437112427))-π/2
    2×atan(0.6946685614869)-π/2
    2×0.607138848424395-π/2
    1.21427769684879-1.57079632675     		φ = -0.35651863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51541754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.531250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35651863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.427013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4768 KachelY 4571 0.51541754 -0.35651863 29.531250 -20.427013
    Oben rechts KachelX + 1 4769 KachelY 4571 0.51618454 -0.35651863 29.575196 -20.427013
    Unten links KachelX 4768 KachelY + 1 4572 0.51541754 -0.35723729 29.531250 -20.468189
    Unten rechts KachelX + 1 4769 KachelY + 1 4572 0.51618454 -0.35723729 29.575196 -20.468189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35651863--0.35723729) × R
    0.000718659999999982 × 6371000     		dl = 4578.58285999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35651863--0.35723729) × R
    0.000718659999999982 × 6371000     		dr = 4578.58285999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51541754-0.51618454) × cos(-0.35651863) × R
    0.000767000000000073 × 0.937117546648546 × 6371000     		do = 4579.27830739871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51541754-0.51618454) × cos(-0.35723729) × R
    0.000767000000000073 × 0.936866482341783 × 6371000     		du = 4578.05146735306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35651863)-sin(-0.35723729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937117546648546-0.936866482341783)×R²
    abs(0.51618454-0.51541754)×0.00025106430676225×R²
    0.000767000000000073×0.00025106430676225×6371000²
    0.000767000000000073×0.00025106430676225×40589641000000     		ar = 20963797.4772906m²