Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4767 / 4581
↖ ↑ ↗
← S 20.838278°
E 29.487304°		 ← 4 566.86 m → S 20.838278°
E 29.531250°		 →
↑
4 566.22 m
↓
↑
4 566.22 m
↓
S 20.879343°
E 29.487304°		 ← 4 565.61 m →
20 850 451 m²		 S 20.879343°
E 29.531250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58197021484375 y=0.55926513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58197021484375 × 213)
    floor (0.58197021484375 × 8192)
    floor (4767.5)     		tx = 4767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.55926513671875 × 213)
    floor (0.55926513671875 × 8192)
    floor (4581.5)     		ty = 4581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4767 / 4581 ti = "13/4767/4581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4767/4581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4767 ÷ 213
    4767 ÷ 8192     		x = 0.5819091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4581 ÷ 213
    4581 ÷ 8192     		y = 0.5592041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5819091796875 × 2 - 1) × π
    0.163818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51465055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5592041015625 × 2 - 1) × π
    -0.118408203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.371990341051636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51465055} λ = 0.51465055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.371990341051636))-π/2
    2×atan(0.689360900993413)-π/2
    2×0.603549884321922-π/2
    1.20709976864384-1.57079632675     		φ = -0.36369656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51465055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.487304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36369656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.838278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4767 KachelY 4581 0.51465055 -0.36369656 29.487304 -20.838278
    Oben rechts KachelX + 1 4768 KachelY 4581 0.51541754 -0.36369656 29.531250 -20.838278
    Unten links KachelX 4767 KachelY + 1 4582 0.51465055 -0.36441328 29.487304 -20.879343
    Unten rechts KachelX + 1 4768 KachelY + 1 4582 0.51541754 -0.36441328 29.531250 -20.879343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36369656--0.36441328) × R
    0.000716720000000004 × 6371000     		dl = 4566.22312000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36369656--0.36441328) × R
    0.000716720000000004 × 6371000     		dr = 4566.22312000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51465055-0.51541754) × cos(-0.36369656) × R
    0.000766989999999912 × 0.934588229503929 × 6371000     		do = 4566.8591123834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51465055-0.51541754) × cos(-0.36441328) × R
    0.000766989999999912 × 0.934333029661168 × 6371000     		du = 4565.61208006415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36369656)-sin(-0.36441328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934588229503929-0.934333029661168)×R²
    abs(0.51541754-0.51465055)×0.000255199842760123×R²
    0.000766989999999912×0.000255199842760123×6371000²
    0.000766989999999912×0.000255199842760123×40589641000000     		ar = 20850451.4433963m²