Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4762 / 4636
↖ ↑ ↗
← S 23.079732°
E 29.267578°		 ← 4 495.38 m → S 23.079732°
E 29.311523°		 →
↑
4 494.68 m
↓
↑
4 494.68 m
↓
S 23.120153°
E 29.267578°		 ← 4 494.03 m →
20 202 239 m²		 S 23.120153°
E 29.311523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58135986328125 y=0.56597900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58135986328125 × 213)
    floor (0.58135986328125 × 8192)
    floor (4762.5)     		tx = 4762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.56597900390625 × 213)
    floor (0.56597900390625 × 8192)
    floor (4636.5)     		ty = 4636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4762 / 4636 ti = "13/4762/4636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4762/4636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4762 ÷ 213
    4762 ÷ 8192     		x = 0.581298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4636 ÷ 213
    4636 ÷ 8192     		y = 0.56591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581298828125 × 2 - 1) × π
    0.16259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51081560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56591796875 × 2 - 1) × π
    -0.1318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.414174812717285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51081560} λ = 0.51081560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.414174812717285))-π/2
    2×atan(0.66088540999283)-π/2
    2×0.583989508536961-π/2
    1.16797901707392-1.57079632675     		φ = -0.40281731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51081560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.267578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40281731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.079732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4762 KachelY 4636 0.51081560 -0.40281731 29.267578 -23.079732
    Oben rechts KachelX + 1 4763 KachelY 4636 0.51158259 -0.40281731 29.311523 -23.079732
    Unten links KachelX 4762 KachelY + 1 4637 0.51081560 -0.40352280 29.267578 -23.120153
    Unten rechts KachelX + 1 4763 KachelY + 1 4637 0.51158259 -0.40352280 29.311523 -23.120153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40281731--0.40352280) × R
    0.000705490000000031 × 6371000     		dl = 4494.6767900002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40281731--0.40352280) × R
    0.000705490000000031 × 6371000     		dr = 4494.6767900002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51081560-0.51158259) × cos(-0.40281731) × R
    0.000766989999999912 × 0.9199602279276 × 6371000     		do = 4495.37948083457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51081560-0.51158259) × cos(-0.40352280) × R
    0.000766989999999912 × 0.919683438671307 × 6371000     		du = 4494.02695199095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40281731)-sin(-0.40352280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9199602279276-0.919683438671307)×R²
    abs(0.51158259-0.51081560)×0.000276789256292931×R²
    0.000766989999999912×0.000276789256292931×6371000²
    0.000766989999999912×0.000276789256292931×40589641000000     		ar = 20202239.0626655m²