Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4762 / 4633
↖ ↑ ↗
← S 22.958393°
E 29.267578°		 ← 4 499.43 m → S 22.958393°
E 29.311523°		 →
↑
4 498.75 m
↓
↑
4 498.75 m
↓
S 22.998851°
E 29.267578°		 ← 4 498.08 m →
20 238 783 m²		 S 22.998851°
E 29.311523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58135986328125 y=0.56561279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58135986328125 × 213)
    floor (0.58135986328125 × 8192)
    floor (4762.5)     		tx = 4762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.56561279296875 × 213)
    floor (0.56561279296875 × 8192)
    floor (4633.5)     		ty = 4633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4762 / 4633 ti = "13/4762/4633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4762/4633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4762 ÷ 213
    4762 ÷ 8192     		x = 0.581298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4633 ÷ 213
    4633 ÷ 8192     		y = 0.5655517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581298828125 × 2 - 1) × π
    0.16259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51081560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5655517578125 × 2 - 1) × π
    -0.131103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.411873841535522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51081560} λ = 0.51081560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.411873841535522))-π/2
    2×atan(0.66240783913676)-π/2
    2×0.585048386218632-π/2
    1.17009677243726-1.57079632675     		φ = -0.40069955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51081560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.267578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40069955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.958393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4762 KachelY 4633 0.51081560 -0.40069955 29.267578 -22.958393
    Oben rechts KachelX + 1 4763 KachelY 4633 0.51158259 -0.40069955 29.311523 -22.958393
    Unten links KachelX 4762 KachelY + 1 4634 0.51081560 -0.40140568 29.267578 -22.998851
    Unten rechts KachelX + 1 4763 KachelY + 1 4634 0.51158259 -0.40140568 29.311523 -22.998851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40069955--0.40140568) × R
    0.000706129999999972 × 6371000     		dl = 4498.75422999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40069955--0.40140568) × R
    0.000706129999999972 × 6371000     		dr = 4498.75422999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51081560-0.51158259) × cos(-0.40069955) × R
    0.000766989999999912 × 0.920788351053848 × 6371000     		do = 4499.42609893428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51081560-0.51158259) × cos(-0.40140568) × R
    0.000766989999999912 × 0.92051268662898 × 6371000     		du = 4498.07906657187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40069955)-sin(-0.40140568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.920788351053848-0.92051268662898)×R²
    abs(0.51158259-0.51081560)×0.000275664424868483×R²
    0.000766989999999912×0.000275664424868483×6371000²
    0.000766989999999912×0.000275664424868483×40589641000000     		ar = 20238783.052338m²