Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 473 / 419
↖ ↑ ↗
← N 31.052934°
W 13.710937°		 ← 33.490 km → N 31.052934°
W 13.359375°		 →
↑
33.543 km
↓
↑
33.543 km
↓
N 30.751278°
W 13.710937°		 ← 33.595 km →
1 125.11 km²		 N 30.751278°
W 13.359375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46240234375 y=0.40966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46240234375 × 210)
    floor (0.46240234375 × 1024)
    floor (473.5)     		tx = 473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40966796875 × 210)
    floor (0.40966796875 × 1024)
    floor (419.5)     		ty = 419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 473 / 419 ti = "10/473/419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/473/419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 473 ÷ 210
    473 ÷ 1024     		x = 0.4619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 419 ÷ 210
    419 ÷ 1024     		y = 0.4091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4619140625 × 2 - 1) × π
    -0.076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23930100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4091796875 × 2 - 1) × π
    0.181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.570640853077148
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23930100} λ = -0.23930100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.570640853077148))-π/2
    2×atan(1.7694006139996)-π/2
    2×1.05638613361796-π/2
    2.11277226723592-1.57079632675     		φ = 0.54197594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23930100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.710937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54197594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.052934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 473 KachelY 419 -0.23930100 0.54197594 -13.710937 31.052934
    Oben rechts KachelX + 1 474 KachelY 419 -0.23316508 0.54197594 -13.359375 31.052934
    Unten links KachelX 473 KachelY + 1 420 -0.23930100 0.53671105 -13.710937 30.751278
    Unten rechts KachelX + 1 474 KachelY + 1 420 -0.23316508 0.53671105 -13.359375 30.751278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54197594-0.53671105) × R
    0.00526489000000008 × 6371000     		dl = 33542.6141900005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54197594-0.53671105) × R
    0.00526489000000008 × 6371000     		dr = 33542.6141900005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23930100--0.23316508) × cos(0.54197594) × R
    0.00613592000000002 × 0.856691105761415 × 6371000     		do = 33489.7227192468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23930100--0.23316508) × cos(0.53671105) × R
    0.00613592000000002 × 0.859395006889381 × 6371000     		du = 33595.4234769958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54197594)-sin(0.53671105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856691105761415-0.859395006889381)×R²
    abs(-0.23316508--0.23930100)×0.00270390112796626×R²
    0.00613592000000002×0.00270390112796626×6371000²
    0.00613592000000002×0.00270390112796626×40589641000000     		ar = 1125108187.28379m²