Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4708 / 4595
↖ ↑ ↗
← S 21.412162°
E 26.894531°		 ← 4 549.22 m → S 21.412162°
E 26.938476°		 →
↑
4 548.58 m
↓
↑
4 548.58 m
↓
S 21.453069°
E 26.894531°		 ← 4 547.94 m →
20 689 569 m²		 S 21.453069°
E 26.938476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57476806640625 y=0.56097412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57476806640625 × 213)
    floor (0.57476806640625 × 8192)
    floor (4708.5)     		tx = 4708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.56097412109375 × 213)
    floor (0.56097412109375 × 8192)
    floor (4595.5)     		ty = 4595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4708 / 4595 ti = "13/4708/4595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4708/4595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4708 ÷ 213
    4708 ÷ 8192     		x = 0.57470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4595 ÷ 213
    4595 ÷ 8192     		y = 0.5609130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57470703125 × 2 - 1) × π
    0.1494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46939812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5609130859375 × 2 - 1) × π
    -0.121826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.382728206566528
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46939812} λ = 0.46939812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.382728206566528))-π/2
    2×atan(0.681998236740483)-π/2
    2×0.598541797962601-π/2
    1.1970835959252-1.57079632675     		φ = -0.37371273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46939812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.894531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37371273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.412162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4708 KachelY 4595 0.46939812 -0.37371273 26.894531 -21.412162
    Oben rechts KachelX + 1 4709 KachelY 4595 0.47016511 -0.37371273 26.938476 -21.412162
    Unten links KachelX 4708 KachelY + 1 4596 0.46939812 -0.37442668 26.894531 -21.453069
    Unten rechts KachelX + 1 4709 KachelY + 1 4596 0.47016511 -0.37442668 26.938476 -21.453069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37371273--0.37442668) × R
    0.000713950000000019 × 6371000     		dl = 4548.57545000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37371273--0.37442668) × R
    0.000713950000000019 × 6371000     		dr = 4548.57545000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46939812-0.47016511) × cos(-0.37371273) × R
    0.000766990000000023 × 0.930978342465356 × 6371000     		do = 4549.21942359242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46939812-0.47016511) × cos(-0.37442668) × R
    0.000766990000000023 × 0.930717460340206 × 6371000     		du = 4547.94462483839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37371273)-sin(-0.37442668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930978342465356-0.930717460340206)×R²
    abs(0.47016511-0.46939812)×0.000260882125150297×R²
    0.000766990000000023×0.000260882125150297×6371000²
    0.000766990000000023×0.000260882125150297×40589641000000     		ar = 20689569.4064896m²