Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 458 / 685
↖ ↑ ↗
← S 51.835778°
W 18.984375°		 ← 24.156 km → S 51.835778°
W 18.632813°		 →
↑
24.097 km
↓
↑
24.097 km
↓
S 52.052490°
W 18.984375°		 ← 24.039 km →
580.684 km²		 S 52.052490°
W 18.632813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44775390625 y=0.66943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44775390625 × 210)
    floor (0.44775390625 × 1024)
    floor (458.5)     		tx = 458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.66943359375 × 210)
    floor (0.66943359375 × 1024)
    floor (685.5)     		ty = 685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 458 / 685 ti = "10/458/685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/458/685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 458 ÷ 210
    458 ÷ 1024     		x = 0.447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 685 ÷ 210
    685 ÷ 1024     		y = 0.6689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447265625 × 2 - 1) × π
    -0.10546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33133985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6689453125 × 2 - 1) × π
    -0.337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.06151470518652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33133985} λ = -0.33133985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06151470518652))-π/2
    2×atan(0.345931429158948)-π/2
    2×0.333045669375243-π/2
    0.666091338750486-1.57079632675     		φ = -0.90470499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33133985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.984375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90470499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.835778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 458 KachelY 685 -0.33133985 -0.90470499 -18.984375 -51.835778
    Oben rechts KachelX + 1 459 KachelY 685 -0.32520393 -0.90470499 -18.632813 -51.835778
    Unten links KachelX 458 KachelY + 1 686 -0.33133985 -0.90848734 -18.984375 -52.052490
    Unten rechts KachelX + 1 459 KachelY + 1 686 -0.32520393 -0.90848734 -18.632813 -52.052490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90470499--0.90848734) × R
    0.00378234999999993 × 6371000     		dl = 24097.3518499996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90470499--0.90848734) × R
    0.00378234999999993 × 6371000     		dr = 24097.3518499996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33133985--0.32520393) × cos(-0.90470499) × R
    0.00613592000000002 × 0.617917556336133 × 6371000     		do = 24155.5999424778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33133985--0.32520393) × cos(-0.90848734) × R
    0.00613592000000002 × 0.614939297592205 × 6371000     		du = 24039.1740115331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90470499)-sin(-0.90848734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617917556336133-0.614939297592205)×R²
    abs(-0.32520393--0.33133985)×0.00297825874392788×R²
    0.00613592000000002×0.00297825874392788×6371000²
    0.00613592000000002×0.00297825874392788×40589641000000     		ar = 580683904.93096m²