Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 457 / 686
↖ ↑ ↗
← S 52.052490°
W 19.335937°		 ← 24.039 km → S 52.052490°
W 18.984375°		 →
↑
23.981 km
↓
↑
23.981 km
↓
S 52.268157°
W 19.335937°		 ← 23.923 km →
575.093 km²		 S 52.268157°
W 18.984375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44677734375 y=0.67041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44677734375 × 210)
    floor (0.44677734375 × 1024)
    floor (457.5)     		tx = 457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.67041015625 × 210)
    floor (0.67041015625 × 1024)
    floor (686.5)     		ty = 686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 457 / 686 ti = "10/457/686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/457/686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 457 ÷ 210
    457 ÷ 1024     		x = 0.4462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 686 ÷ 210
    686 ÷ 1024     		y = 0.669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4462890625 × 2 - 1) × π
    -0.107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33747577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669921875 × 2 - 1) × π
    -0.33984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.06765062833789
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33747577} λ = -0.33747577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06765062833789))-π/2
    2×atan(0.343815319277005)-π/2
    2×0.331154492072227-π/2
    0.662308984144454-1.57079632675     		φ = -0.90848734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33747577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.335937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90848734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.052490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 457 KachelY 686 -0.33747577 -0.90848734 -19.335937 -52.052490
    Oben rechts KachelX + 1 458 KachelY 686 -0.33133985 -0.90848734 -18.984375 -52.052490
    Unten links KachelX 457 KachelY + 1 687 -0.33747577 -0.91225144 -19.335937 -52.268157
    Unten rechts KachelX + 1 458 KachelY + 1 687 -0.33133985 -0.91225144 -18.984375 -52.268157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90848734--0.91225144) × R
    0.00376410000000005 × 6371000     		dl = 23981.0811000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90848734--0.91225144) × R
    0.00376410000000005 × 6371000     		dr = 23981.0811000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33747577--0.33133985) × cos(-0.90848734) × R
    0.00613592000000002 × 0.614939297592205 × 6371000     		do = 24039.1740115331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33747577--0.33133985) × cos(-0.91225144) × R
    0.00613592000000002 × 0.611966675158383 × 6371000     		du = 23922.9684149204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90848734)-sin(-0.91225144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614939297592205-0.611966675158383)×R²
    abs(-0.33133985--0.33747577)×0.00297262243382246×R²
    0.00613592000000002×0.00297262243382246×6371000²
    0.00613592000000002×0.00297262243382246×40589641000000     		ar = 575092692.643724m²