Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45415 / 28965
↖ ↑ ↗
← N 20.442455°
E 69.472046°		 ← 572.32 m → N 20.442455°
E 69.477539°		 →
↑
572.37 m
↓
↑
572.37 m
↓
N 20.437308°
E 69.472046°		 ← 572.34 m →
327 586 m²		 N 20.437308°
E 69.477539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.692985534667969 y=0.441978454589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.692985534667969 × 216)
    floor (0.692985534667969 × 65536)
    floor (45415.5)     		tx = 45415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441978454589844 × 216)
    floor (0.441978454589844 × 65536)
    floor (28965.5)     		ty = 28965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45415 / 28965 ti = "16/45415/28965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45415/28965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45415 ÷ 216
    45415 ÷ 65536     		x = 0.692977905273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28965 ÷ 216
    28965 ÷ 65536     		y = 0.441970825195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.692977905273438 × 2 - 1) × π
    0.385955810546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.21251594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441970825195312 × 2 - 1) × π
    0.116058349609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.364608058510147
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.21251594} λ = 1.21251594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.364608058510147))-π/2
    2×atan(1.43994952157279)-π/2
    2×0.963792239134154-π/2
    1.92758447826831-1.57079632675     		φ = 0.35678815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.21251594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.472046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35678815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.442455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45415 KachelY 28965 1.21251594 0.35678815 69.472046 20.442455
    Oben rechts KachelX + 1 45416 KachelY 28965 1.21261181 0.35678815 69.477539 20.442455
    Unten links KachelX 45415 KachelY + 1 28966 1.21251594 0.35669831 69.472046 20.437308
    Unten rechts KachelX + 1 45416 KachelY + 1 28966 1.21261181 0.35669831 69.477539 20.437308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35678815-0.35669831) × R
    8.98400000000077e-05 × 6371000     		dl = 572.370640000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35678815-0.35669831) × R
    8.98400000000077e-05 × 6371000     		dr = 572.370640000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.21251594-1.21261181) × cos(0.35678815) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.937023446386236 × 6371000     		do = 572.322461255951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.21251594-1.21261181) × cos(0.35669831) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.937054820703604 × 6371000     		du = 572.341624305292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35678815)-sin(0.35669831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937023446386236-0.937054820703604)×R²
    abs(1.21261181-1.21251594)×3.13743173685488e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.13743173685488e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.13743173685488e-05×40589641000000     		ar = 327586.057839204m²