Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 454 / 699
↖ ↑ ↗
← S 54.775346°
W 20.390625°		 ← 22.548 km → S 54.775346°
W 20.039063°		 →
↑
22.491 km
↓
↑
22.491 km
↓
S 54.977613°
W 20.390625°		 ← 22.435 km →
505.853 km²		 S 54.977613°
W 20.039063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44384765625 y=0.68310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44384765625 × 210)
    floor (0.44384765625 × 1024)
    floor (454.5)     		tx = 454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.68310546875 × 210)
    floor (0.68310546875 × 1024)
    floor (699.5)     		ty = 699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 454 / 699 ti = "10/454/699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/454/699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 454 ÷ 210
    454 ÷ 1024     		x = 0.443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 699 ÷ 210
    699 ÷ 1024     		y = 0.6826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443359375 × 2 - 1) × π
    -0.11328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35588354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6826171875 × 2 - 1) × π
    -0.365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.14741762930566
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35588354} λ = -0.35588354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14741762930566))-π/2
    2×atan(0.317455499570489)-π/2
    2×0.30739309632463-π/2
    0.61478619264926-1.57079632675     		φ = -0.95601013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35588354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.390625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95601013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.775346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 454 KachelY 699 -0.35588354 -0.95601013 -20.390625 -54.775346
    Oben rechts KachelX + 1 455 KachelY 699 -0.34974762 -0.95601013 -20.039063 -54.775346
    Unten links KachelX 454 KachelY + 1 700 -0.35588354 -0.95954037 -20.390625 -54.977613
    Unten rechts KachelX + 1 455 KachelY + 1 700 -0.34974762 -0.95954037 -20.039063 -54.977613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95601013--0.95954037) × R
    0.00353024000000002 × 6371000     		dl = 22491.1590400001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95601013--0.95954037) × R
    0.00353024000000002 × 6371000     		dr = 22491.1590400001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35588354--0.34974762) × cos(-0.95601013) × R
    0.00613592000000002 × 0.576783880319027 × 6371000     		do = 22547.6044876728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35588354--0.34974762) × cos(-0.95954037) × R
    0.00613592000000002 × 0.573896450498898 × 6371000     		du = 22434.7292361415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95601013)-sin(-0.95954037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576783880319027-0.573896450498898)×R²
    abs(-0.34974762--0.35588354)×0.00288742982012935×R²
    0.00613592000000002×0.00288742982012935×6371000²
    0.00613592000000002×0.00288742982012935×40589641000000     		ar = 505852936.239776m²