Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 454 / 695
↖ ↑ ↗
← S 53.956085°
W 20.390625°		 ← 23.002 km → S 53.956085°
W 20.039063°		 →
↑
22.945 km
↓
↑
22.945 km
↓
S 54.162434°
W 20.390625°		 ← 22.888 km →
526.469 km²		 S 54.162434°
W 20.039063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44384765625 y=0.67919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44384765625 × 210)
    floor (0.44384765625 × 1024)
    floor (454.5)     		tx = 454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.67919921875 × 210)
    floor (0.67919921875 × 1024)
    floor (695.5)     		ty = 695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 454 / 695 ti = "10/454/695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/454/695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 454 ÷ 210
    454 ÷ 1024     		x = 0.443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 695 ÷ 210
    695 ÷ 1024     		y = 0.6787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443359375 × 2 - 1) × π
    -0.11328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35588354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6787109375 × 2 - 1) × π
    -0.357421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.1228739367002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35588354} λ = -0.35588354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1228739367002))-π/2
    2×atan(0.325343433312798)-π/2
    2×0.314542491405185-π/2
    0.629084982810369-1.57079632675     		φ = -0.94171134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35588354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.390625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94171134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.956085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 454 KachelY 695 -0.35588354 -0.94171134 -20.390625 -53.956085
    Oben rechts KachelX + 1 455 KachelY 695 -0.34974762 -0.94171134 -20.039063 -53.956085
    Unten links KachelX 454 KachelY + 1 696 -0.35588354 -0.94531280 -20.390625 -54.162434
    Unten rechts KachelX + 1 455 KachelY + 1 696 -0.34974762 -0.94531280 -20.039063 -54.162434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94171134--0.94531280) × R
    0.00360145999999995 × 6371000     		dl = 22944.9016599997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94171134--0.94531280) × R
    0.00360145999999995 × 6371000     		dr = 22944.9016599997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35588354--0.34974762) × cos(-0.94171134) × R
    0.00613592000000002 × 0.588405155574787 × 6371000     		do = 23001.9027561409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35588354--0.34974762) × cos(-0.94531280) × R
    0.00613592000000002 × 0.585489326925804 × 6371000     		du = 22887.9173391165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94171134)-sin(-0.94531280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588405155574787-0.585489326925804)×R²
    abs(-0.34974762--0.35588354)×0.00291582864898232×R²
    0.00613592000000002×0.00291582864898232×6371000²
    0.00613592000000002×0.00291582864898232×40589641000000     		ar = 526469273.688606m²