Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45350 / 28823
↖ ↑ ↗
← N 21.171606°
E 69.114990°		 ← 569.62 m → N 21.171606°
E 69.120484°		 →
↑
569.63 m
↓
↑
569.63 m
↓
N 21.166484°
E 69.114990°		 ← 569.64 m →
324 479 m²		 N 21.166484°
E 69.120484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691993713378906 y=0.439811706542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691993713378906 × 216)
    floor (0.691993713378906 × 65536)
    floor (45350.5)     		tx = 45350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439811706542969 × 216)
    floor (0.439811706542969 × 65536)
    floor (28823.5)     		ty = 28823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45350 / 28823 ti = "16/45350/28823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45350/28823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45350 ÷ 216
    45350 ÷ 65536     		x = 0.691986083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28823 ÷ 216
    28823 ÷ 65536     		y = 0.439804077148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.691986083984375 × 2 - 1) × π
    0.38397216796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.20628414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439804077148438 × 2 - 1) × π
    0.120391845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.378222138002243
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20628414} λ = 1.20628414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.378222138002243))-π/2
    2×atan(1.45968715885349)-π/2
    2×0.970155282661888-π/2
    1.94031056532378-1.57079632675     		φ = 0.36951424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20628414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.114990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36951424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.171606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45350 KachelY 28823 1.20628414 0.36951424 69.114990 21.171606
    Oben rechts KachelX + 1 45351 KachelY 28823 1.20638002 0.36951424 69.120484 21.171606
    Unten links KachelX 45350 KachelY + 1 28824 1.20628414 0.36942483 69.114990 21.166484
    Unten rechts KachelX + 1 45351 KachelY + 1 28824 1.20638002 0.36942483 69.120484 21.166484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36951424-0.36942483) × R
    8.9410000000012e-05 × 6371000     		dl = 569.631110000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36951424-0.36942483) × R
    8.9410000000012e-05 × 6371000     		dr = 569.631110000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20628414-1.20638002) × cos(0.36951424) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.932502893914085 × 6371000     		do = 569.620772852647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20628414-1.20638002) × cos(0.36942483) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.932535181726061 × 6371000     		du = 569.640495910379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36951424)-sin(0.36942483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932502893914085-0.932535181726061)×R²
    abs(1.20638002-1.20628414)×3.22878119766168e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.22878119766168e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.22878119766168e-05×40589641000000     		ar = 324479.330769013m²