Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45342 / 28825
↖ ↑ ↗
← N 21.161361°
E 69.071045°		 ← 569.66 m → N 21.161361°
E 69.076538°		 →
↑
569.63 m
↓
↑
569.63 m
↓
N 21.156239°
E 69.071045°		 ← 569.68 m →
324 502 m²		 N 21.156239°
E 69.076538°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691871643066406 y=0.439842224121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691871643066406 × 216)
    floor (0.691871643066406 × 65536)
    floor (45342.5)     		tx = 45342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439842224121094 × 216)
    floor (0.439842224121094 × 65536)
    floor (28825.5)     		ty = 28825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45342 / 28825 ti = "16/45342/28825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45342/28825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45342 ÷ 216
    45342 ÷ 65536     		x = 0.691864013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28825 ÷ 216
    28825 ÷ 65536     		y = 0.439834594726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.691864013671875 × 2 - 1) × π
    0.38372802734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.20551715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439834594726562 × 2 - 1) × π
    0.120330810546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.378030390403763
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20551715} λ = 1.20551715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.378030390403763))-π/2
    2×atan(1.45940729417879)-π/2
    2×0.970065876971344-π/2
    1.94013175394269-1.57079632675     		φ = 0.36933543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20551715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.071045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36933543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.161361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45342 KachelY 28825 1.20551715 0.36933543 69.071045 21.161361
    Oben rechts KachelX + 1 45343 KachelY 28825 1.20561303 0.36933543 69.076538 21.161361
    Unten links KachelX 45342 KachelY + 1 28826 1.20551715 0.36924602 69.071045 21.156239
    Unten rechts KachelX + 1 45343 KachelY + 1 28826 1.20561303 0.36924602 69.076538 21.156239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36933543-0.36924602) × R
    8.9410000000012e-05 × 6371000     		dl = 569.631110000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36933543-0.36924602) × R
    8.9410000000012e-05 × 6371000     		dr = 569.631110000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20551715-1.20561303) × cos(0.36933543) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.932567458473256 × 6371000     		do = 569.660212209173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20551715-1.20561303) × cos(0.36924602) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.93259973137616 × 6371000     		du = 569.679926159675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36933543)-sin(0.36924602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932567458473256-0.93259973137616)×R²
    abs(1.20561303-1.20551715)×3.22729029036406e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.22729029036406e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.22729029036406e-05×40589641000000     		ar = 324501.794059571m²