Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45332 / 28828
↖ ↑ ↗
← N 21.145992°
E 69.016113°		 ← 569.72 m → N 21.145992°
E 69.021607°		 →
↑
569.69 m
↓
↑
569.69 m
↓
N 21.140869°
E 69.016113°		 ← 569.74 m →
324 572 m²		 N 21.140869°
E 69.021607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691719055175781 y=0.439888000488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691719055175781 × 216)
    floor (0.691719055175781 × 65536)
    floor (45332.5)     		tx = 45332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439888000488281 × 216)
    floor (0.439888000488281 × 65536)
    floor (28828.5)     		ty = 28828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45332 / 28828 ti = "16/45332/28828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45332/28828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45332 ÷ 216
    45332 ÷ 65536     		x = 0.69171142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28828 ÷ 216
    28828 ÷ 65536     		y = 0.43988037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69171142578125 × 2 - 1) × π
    0.3834228515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.20455841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43988037109375 × 2 - 1) × π
    0.1202392578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.377742769006042
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20455841} λ = 1.20455841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.377742769006042))-π/2
    2×atan(1.45898759777272)-π/2
    2×0.969931756832133-π/2
    1.93986351366427-1.57079632675     		φ = 0.36906719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20455841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.016113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36906719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.145992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45332 KachelY 28828 1.20455841 0.36906719 69.016113 21.145992
    Oben rechts KachelX + 1 45333 KachelY 28828 1.20465429 0.36906719 69.021607 21.145992
    Unten links KachelX 45332 KachelY + 1 28829 1.20455841 0.36897777 69.016113 21.140869
    Unten rechts KachelX + 1 45333 KachelY + 1 28829 1.20465429 0.36897777 69.021607 21.140869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36906719-0.36897777) × R
    8.94200000000067e-05 × 6371000     		dl = 569.694820000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36906719-0.36897777) × R
    8.94200000000067e-05 × 6371000     		dr = 569.694820000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20455841-1.20465429) × cos(0.36906719) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.932664258423144 × 6371000     		do = 569.719342600506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20455841-1.20465429) × cos(0.36897777) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.932696512565041 × 6371000     		du = 569.73904509082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36906719)-sin(0.36897777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932664258423144-0.932696512565041)×R²
    abs(1.20465429-1.20455841)×3.22541418967814e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.22541418967814e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.22541418967814e-05×40589641000000     		ar = 324571.770752842m²