Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 453 / 693
↖ ↑ ↗
← S 53.540308°
W 20.742188°		 ← 23.231 km → S 53.540308°
W 20.390625°		 →
↑
23.173 km
↓
↑
23.173 km
↓
S 53.748711°
W 20.742188°		 ← 23.116 km →
537.007 km²		 S 53.748711°
W 20.390625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44287109375 y=0.67724609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44287109375 × 210)
    floor (0.44287109375 × 1024)
    floor (453.5)     		tx = 453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.67724609375 × 210)
    floor (0.67724609375 × 1024)
    floor (693.5)     		ty = 693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 453 / 693 ti = "10/453/693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/453/693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 453 ÷ 210
    453 ÷ 1024     		x = 0.4423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 693 ÷ 210
    693 ÷ 1024     		y = 0.6767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4423828125 × 2 - 1) × π
    -0.115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36201947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6767578125 × 2 - 1) × π
    -0.353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.11060209039746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36201947} λ = -0.36201947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11060209039746))-π/2
    2×atan(0.32936059651202)-π/2
    2×0.318170840151113-π/2
    0.636341680302225-1.57079632675     		φ = -0.93445465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36201947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.742188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93445465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.540308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 453 KachelY 693 -0.36201947 -0.93445465 -20.742188 -53.540308
    Oben rechts KachelX + 1 454 KachelY 693 -0.35588354 -0.93445465 -20.390625 -53.540308
    Unten links KachelX 453 KachelY + 1 694 -0.36201947 -0.93809197 -20.742188 -53.748711
    Unten rechts KachelX + 1 454 KachelY + 1 694 -0.35588354 -0.93809197 -20.390625 -53.748711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93445465--0.93809197) × R
    0.00363731999999994 × 6371000     		dl = 23173.3657199996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93445465--0.93809197) × R
    0.00363731999999994 × 6371000     		dr = 23173.3657199996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36201947--0.35588354) × cos(-0.93445465) × R
    0.00613593000000001 × 0.594257126156798 × 6371000     		do = 23230.7055361206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36201947--0.35588354) × cos(-0.93809197) × R
    0.00613593000000001 × 0.591327795594016 × 6371000     		du = 23116.1921163791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93445465)-sin(-0.93809197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594257126156798-0.591327795594016)×R²
    abs(-0.35588354--0.36201947)×0.00292933056278233×R²
    0.00613593000000001×0.00292933056278233×6371000²
    0.00613593000000001×0.00292933056278233×40589641000000     		ar = 537007396.699513m²