Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45284 / 28836
↖ ↑ ↗
← N 21.105000°
E 68.752441°		 ← 569.88 m → N 21.105000°
E 68.757935°		 →
↑
569.82 m
↓
↑
569.82 m
↓
N 21.099876°
E 68.752441°		 ← 569.90 m →
324 734 m²		 N 21.099876°
E 68.757935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690986633300781 y=0.440010070800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690986633300781 × 216)
    floor (0.690986633300781 × 65536)
    floor (45284.5)     		tx = 45284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440010070800781 × 216)
    floor (0.440010070800781 × 65536)
    floor (28836.5)     		ty = 28836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45284 / 28836 ti = "16/45284/28836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45284/28836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45284 ÷ 216
    45284 ÷ 65536     		x = 0.69097900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28836 ÷ 216
    28836 ÷ 65536     		y = 0.44000244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69097900390625 × 2 - 1) × π
    0.3819580078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.19995647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44000244140625 × 2 - 1) × π
    0.1199951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.376975778612122
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19995647} λ = 1.19995647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.376975778612122))-π/2
    2×atan(1.45786899733311)-π/2
    2×0.969574035112286-π/2
    1.93914807022457-1.57079632675     		φ = 0.36835174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19995647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.752441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36835174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.105000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45284 KachelY 28836 1.19995647 0.36835174 68.752441 21.105000
    Oben rechts KachelX + 1 45285 KachelY 28836 1.20005235 0.36835174 68.757935 21.105000
    Unten links KachelX 45284 KachelY + 1 28837 1.19995647 0.36826230 68.752441 21.099876
    Unten rechts KachelX + 1 45285 KachelY + 1 28837 1.20005235 0.36826230 68.757935 21.099876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36835174-0.36826230) × R
    8.94399999999962e-05 × 6371000     		dl = 569.822239999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36835174-0.36826230) × R
    8.94399999999962e-05 × 6371000     		dr = 569.822239999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19995647-1.20005235) × cos(0.36835174) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.932922115133032 × 6371000     		do = 569.876854753369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19995647-1.20005235) × cos(0.36826230) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.932954316797844 × 6371000     		du = 569.896525187978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36835174)-sin(0.36826230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932922115133032-0.932954316797844)×R²
    abs(1.20005235-1.19995647)×3.22016648123258e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.22016648123258e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.22016648123258e-05×40589641000000     		ar = 324734.110441871m²