Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45281 / 28958
↖ ↑ ↗
← N 20.478482°
E 68.735962°		 ← 572.19 m → N 20.478482°
E 68.741455°		 →
↑
572.24 m
↓
↑
572.24 m
↓
N 20.473335°
E 68.735962°		 ← 572.21 m →
327 436 m²		 N 20.473335°
E 68.741455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690940856933594 y=0.441871643066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690940856933594 × 216)
    floor (0.690940856933594 × 65536)
    floor (45281.5)     		tx = 45281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441871643066406 × 216)
    floor (0.441871643066406 × 65536)
    floor (28958.5)     		ty = 28958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45281 / 28958 ti = "16/45281/28958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45281/28958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45281 ÷ 216
    45281 ÷ 65536     		x = 0.690933227539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28958 ÷ 216
    28958 ÷ 65536     		y = 0.441864013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690933227539062 × 2 - 1) × π
    0.381866455078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.19966885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441864013671875 × 2 - 1) × π
    0.11627197265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.365279175104828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19966885} λ = 1.19966885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.365279175104828))-π/2
    2×atan(1.4409162199396)-π/2
    2×0.964106628257887-π/2
    1.92821325651577-1.57079632675     		φ = 0.35741693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19966885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.735962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35741693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.478482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45281 KachelY 28958 1.19966885 0.35741693 68.735962 20.478482
    Oben rechts KachelX + 1 45282 KachelY 28958 1.19976472 0.35741693 68.741455 20.478482
    Unten links KachelX 45281 KachelY + 1 28959 1.19966885 0.35732711 68.735962 20.473335
    Unten rechts KachelX + 1 45282 KachelY + 1 28959 1.19976472 0.35732711 68.741455 20.473335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35741693-0.35732711) × R
    8.98200000000182e-05 × 6371000     		dl = 572.243220000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35741693-0.35732711) × R
    8.98200000000182e-05 × 6371000     		dr = 572.243220000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19966885-1.19976472) × cos(0.35741693) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.936803649402433 × 6371000     		do = 572.188211946361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19966885-1.19976472) × cos(0.35732711) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.936835069651129 × 6371000     		du = 572.207403049995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35741693)-sin(0.35732711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936803649402433-0.936835069651129)×R²
    abs(1.19976472-1.19966885)×3.14202486959569e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.14202486959569e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.14202486959569e-05×40589641000000     		ar = 327436.316059841m²