Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45281 / 28832
↖ ↑ ↗
← N 21.125498°
E 68.735962°		 ← 569.74 m → N 21.125498°
E 68.741455°		 →
↑
569.76 m
↓
↑
569.76 m
↓
N 21.120374°
E 68.735962°		 ← 569.76 m →
324 619 m²		 N 21.120374°
E 68.741455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690940856933594 y=0.439949035644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690940856933594 × 216)
    floor (0.690940856933594 × 65536)
    floor (45281.5)     		tx = 45281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439949035644531 × 216)
    floor (0.439949035644531 × 65536)
    floor (28832.5)     		ty = 28832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45281 / 28832 ti = "16/45281/28832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45281/28832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45281 ÷ 216
    45281 ÷ 65536     		x = 0.690933227539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28832 ÷ 216
    28832 ÷ 65536     		y = 0.43994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690933227539062 × 2 - 1) × π
    0.381866455078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.19966885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43994140625 × 2 - 1) × π
    0.1201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.377359273809082
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19966885} λ = 1.19966885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.377359273809082))-π/2
    2×atan(1.45842819030845)-π/2
    2×0.969752908332948-π/2
    1.9395058166659-1.57079632675     		φ = 0.36870949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19966885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.735962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36870949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.125498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45281 KachelY 28832 1.19966885 0.36870949 68.735962 21.125498
    Oben rechts KachelX + 1 45282 KachelY 28832 1.19976472 0.36870949 68.741455 21.125498
    Unten links KachelX 45281 KachelY + 1 28833 1.19966885 0.36862006 68.735962 21.120374
    Unten rechts KachelX + 1 45282 KachelY + 1 28833 1.19976472 0.36862006 68.741455 21.120374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36870949-0.36862006) × R
    8.94299999999459e-05 × 6371000     		dl = 569.758529999656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36870949-0.36862006) × R
    8.94299999999459e-05 × 6371000     		dr = 569.758529999656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19966885-1.19976472) × cos(0.36870949) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.932793237451247 × 6371000     		do = 569.738701373915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19966885-1.19976472) × cos(0.36862006) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.932825465362086 × 6371000     		du = 569.758385787708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36870949)-sin(0.36862006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932793237451247-0.932825465362086)×R²
    abs(1.19976472-1.19966885)×3.22279108391221e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.22279108391221e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.22279108391221e-05×40589641000000     		ar = 324619.092876273m²