Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45280 / 28831
↖ ↑ ↗
← N 21.130622°
E 68.730469°		 ← 569.72 m → N 21.130622°
E 68.735962°		 →
↑
569.76 m
↓
↑
569.76 m
↓
N 21.125498°
E 68.730469°		 ← 569.74 m →
324 608 m²		 N 21.125498°
E 68.735962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690925598144531 y=0.439933776855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690925598144531 × 216)
    floor (0.690925598144531 × 65536)
    floor (45280.5)     		tx = 45280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439933776855469 × 216)
    floor (0.439933776855469 × 65536)
    floor (28831.5)     		ty = 28831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45280 / 28831 ti = "16/45280/28831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45280/28831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45280 ÷ 216
    45280 ÷ 65536     		x = 0.69091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28831 ÷ 216
    28831 ÷ 65536     		y = 0.439926147460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69091796875 × 2 - 1) × π
    0.3818359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19957298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439926147460938 × 2 - 1) × π
    0.120147705078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.377455147608322
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19957298} λ = 1.19957298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.377455147608322))-π/2
    2×atan(1.45856802206296)-π/2
    2×0.969797622776143-π/2
    1.93959524555229-1.57079632675     		φ = 0.36879892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19957298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.730469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36879892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.130622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45280 KachelY 28831 1.19957298 0.36879892 68.730469 21.130622
    Oben rechts KachelX + 1 45281 KachelY 28831 1.19966885 0.36879892 68.735962 21.130622
    Unten links KachelX 45280 KachelY + 1 28832 1.19957298 0.36870949 68.730469 21.125498
    Unten rechts KachelX + 1 45281 KachelY + 1 28832 1.19966885 0.36870949 68.735962 21.125498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36879892-0.36870949) × R
    8.94300000000015e-05 × 6371000     		dl = 569.758530000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36879892-0.36870949) × R
    8.94300000000015e-05 × 6371000     		dr = 569.758530000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19957298-1.19966885) × cos(0.36879892) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.932761002080184 × 6371000     		do = 569.719012403509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19957298-1.19966885) × cos(0.36870949) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.932793237451247 × 6371000     		du = 569.738701373915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36879892)-sin(0.36870949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932761002080184-0.932793237451247)×R²
    abs(1.19966885-1.19957298)×3.22353710628942e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.22353710628942e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.22353710628942e-05×40589641000000     		ar = 324607.876215966m²