Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45276 / 28826
↖ ↑ ↗
← N 21.156239°
E 68.708496°		 ← 569.62 m → N 21.156239°
E 68.713989°		 →
↑
569.69 m
↓
↑
569.69 m
↓
N 21.151115°
E 68.708496°		 ← 569.64 m →
324 515 m²		 N 21.151115°
E 68.713989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690864562988281 y=0.439857482910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690864562988281 × 216)
    floor (0.690864562988281 × 65536)
    floor (45276.5)     		tx = 45276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439857482910156 × 216)
    floor (0.439857482910156 × 65536)
    floor (28826.5)     		ty = 28826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45276 / 28826 ti = "16/45276/28826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45276/28826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45276 ÷ 216
    45276 ÷ 65536     		x = 0.69085693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28826 ÷ 216
    28826 ÷ 65536     		y = 0.439849853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69085693359375 × 2 - 1) × π
    0.3817138671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.19918948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439849853515625 × 2 - 1) × π
    0.12030029296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.377934516604523
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19918948} λ = 1.19918948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.377934516604523))-π/2
    2×atan(1.45926738196392)-π/2
    2×0.970021171805089-π/2
    1.94004234361018-1.57079632675     		φ = 0.36924602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19918948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.708496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36924602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.156239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45276 KachelY 28826 1.19918948 0.36924602 68.708496 21.156239
    Oben rechts KachelX + 1 45277 KachelY 28826 1.19928535 0.36924602 68.713989 21.156239
    Unten links KachelX 45276 KachelY + 1 28827 1.19918948 0.36915660 68.708496 21.151115
    Unten rechts KachelX + 1 45277 KachelY + 1 28827 1.19928535 0.36915660 68.713989 21.151115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36924602-0.36915660) × R
    8.94200000000067e-05 × 6371000     		dl = 569.694820000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36924602-0.36915660) × R
    8.94200000000067e-05 × 6371000     		dr = 569.694820000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19918948-1.19928535) × cos(0.36924602) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.93259973137616 × 6371000     		do = 569.620510229831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19918948-1.19928535) × cos(0.36915660) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.932632000432013 × 6371000     		du = 569.640219774496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36924602)-sin(0.36915660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93259973137616-0.932632000432013)×R²
    abs(1.19928535-1.19918948)×3.22690558530736e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.22690558530736e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.22690558530736e-05×40589641000000     		ar = 324515.468472657m²