Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45272 / 28778
↖ ↑ ↗
← N 21.401934°
E 68.686524°		 ← 568.67 m → N 21.401934°
E 68.692017°		 →
↑
568.68 m
↓
↑
568.68 m
↓
N 21.396820°
E 68.686524°		 ← 568.69 m →
323 394 m²		 N 21.396820°
E 68.692017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690803527832031 y=0.439125061035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690803527832031 × 216)
    floor (0.690803527832031 × 65536)
    floor (45272.5)     		tx = 45272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439125061035156 × 216)
    floor (0.439125061035156 × 65536)
    floor (28778.5)     		ty = 28778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45272 / 28778 ti = "16/45272/28778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45272/28778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45272 ÷ 216
    45272 ÷ 65536     		x = 0.6907958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28778 ÷ 216
    28778 ÷ 65536     		y = 0.439117431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6907958984375 × 2 - 1) × π
    0.381591796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.19880599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439117431640625 × 2 - 1) × π
    0.12176513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.382536458968048
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19880599} λ = 1.19880599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.382536458968048))-π/2
    2×atan(1.46599832216922)-π/2
    2×0.972165269277954-π/2
    1.94433053855591-1.57079632675     		φ = 0.37353421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19880599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.686524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37353421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.401934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45272 KachelY 28778 1.19880599 0.37353421 68.686524 21.401934
    Oben rechts KachelX + 1 45273 KachelY 28778 1.19890186 0.37353421 68.692017 21.401934
    Unten links KachelX 45272 KachelY + 1 28779 1.19880599 0.37344495 68.686524 21.396820
    Unten rechts KachelX + 1 45273 KachelY + 1 28779 1.19890186 0.37344495 68.692017 21.396820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37353421-0.37344495) × R
    8.92599999999799e-05 × 6371000     		dl = 568.675459999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37353421-0.37344495) × R
    8.92599999999799e-05 × 6371000     		dr = 568.675459999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19880599-1.19890186) × cos(0.37353421) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.931043500714078 × 6371000     		do = 568.669983574133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19880599-1.19890186) × cos(0.37344495) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.931076068711647 × 6371000     		du = 568.689875708741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37353421)-sin(0.37344495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931043500714078-0.931076068711647)×R²
    abs(1.19890186-1.19880599)×3.25679975695659e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.25679975695659e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.25679975695659e-05×40589641000000     		ar = 323394.320796154m²