Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45270 / 28777
↖ ↑ ↗
← N 21.407048°
E 68.675537°		 ← 568.65 m → N 21.407048°
E 68.681030°		 →
↑
568.68 m
↓
↑
568.68 m
↓
N 21.401934°
E 68.675537°		 ← 568.67 m →
323 383 m²		 N 21.401934°
E 68.681030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690773010253906 y=0.439109802246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690773010253906 × 216)
    floor (0.690773010253906 × 65536)
    floor (45270.5)     		tx = 45270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439109802246094 × 216)
    floor (0.439109802246094 × 65536)
    floor (28777.5)     		ty = 28777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45270 / 28777 ti = "16/45270/28777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45270/28777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45270 ÷ 216
    45270 ÷ 65536     		x = 0.690765380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28777 ÷ 216
    28777 ÷ 65536     		y = 0.439102172851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690765380859375 × 2 - 1) × π
    0.38153076171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.19861424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439102172851562 × 2 - 1) × π
    0.121795654296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.382632332767288
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19861424} λ = 1.19861424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.382632332767288))-π/2
    2×atan(1.46613887973583)-π/2
    2×0.972209899835992-π/2
    1.94441979967198-1.57079632675     		φ = 0.37362347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19861424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.675537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37362347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.407048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45270 KachelY 28777 1.19861424 0.37362347 68.675537 21.407048
    Oben rechts KachelX + 1 45271 KachelY 28777 1.19871011 0.37362347 68.681030 21.407048
    Unten links KachelX 45270 KachelY + 1 28778 1.19861424 0.37353421 68.675537 21.401934
    Unten rechts KachelX + 1 45271 KachelY + 1 28778 1.19871011 0.37353421 68.681030 21.401934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37362347-0.37353421) × R
    8.92600000000354e-05 × 6371000     		dl = 568.675460000226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37362347-0.37353421) × R
    8.92600000000354e-05 × 6371000     		dr = 568.675460000226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19861424-1.19871011) × cos(0.37362347) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.931010925298561 × 6371000     		do = 568.650086908732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19861424-1.19871011) × cos(0.37353421) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.931043500714078 × 6371000     		du = 568.669983574133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37362347)-sin(0.37353421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931010925298561-0.931043500714078)×R²
    abs(1.19871011-1.19861424)×3.25754155168223e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.25754155168223e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.25754155168223e-05×40589641000000     		ar = 323383.007339509m²