Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45257 / 28744
↖ ↑ ↗
← N 21.575719°
E 68.604126°		 ← 567.99 m → N 21.575719°
E 68.609619°		 →
↑
567.97 m
↓
↑
567.97 m
↓
N 21.570611°
E 68.604126°		 ← 568.01 m →
322 610 m²		 N 21.570611°
E 68.609619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690574645996094 y=0.438606262207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690574645996094 × 216)
    floor (0.690574645996094 × 65536)
    floor (45257.5)     		tx = 45257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438606262207031 × 216)
    floor (0.438606262207031 × 65536)
    floor (28744.5)     		ty = 28744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45257 / 28744 ti = "16/45257/28744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45257/28744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45257 ÷ 216
    45257 ÷ 65536     		x = 0.690567016601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28744 ÷ 216
    28744 ÷ 65536     		y = 0.4385986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690567016601562 × 2 - 1) × π
    0.381134033203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.19736788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4385986328125 × 2 - 1) × π
    0.122802734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.385796168142212
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19736788} λ = 1.19736788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.385796168142212))-π/2
    2×atan(1.47078484745114)-π/2
    2×0.973681830320459-π/2
    1.94736366064092-1.57079632675     		φ = 0.37656733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19736788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.604126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37656733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.575719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45257 KachelY 28744 1.19736788 0.37656733 68.604126 21.575719
    Oben rechts KachelX + 1 45258 KachelY 28744 1.19746375 0.37656733 68.609619 21.575719
    Unten links KachelX 45257 KachelY + 1 28745 1.19736788 0.37647818 68.604126 21.570611
    Unten rechts KachelX + 1 45258 KachelY + 1 28745 1.19746375 0.37647818 68.609619 21.570611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37656733-0.37647818) × R
    8.91499999999823e-05 × 6371000     		dl = 567.974649999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37656733-0.37647818) × R
    8.91499999999823e-05 × 6371000     		dr = 567.974649999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19736788-1.19746375) × cos(0.37656733) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.929932409317731 × 6371000     		do = 567.991342537892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19736788-1.19746375) × cos(0.37647818) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.929965188795549 × 6371000     		du = 568.01136384205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37656733)-sin(0.37647818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929932409317731-0.929965188795549)×R²
    abs(1.19746375-1.19736788)×3.27794778176571e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.27794778176571e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.27794778176571e-05×40589641000000     		ar = 322610.3699912m²