Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45255 / 28743
↖ ↑ ↗
← N 21.580827°
E 68.593140°		 ← 567.97 m → N 21.580827°
E 68.598633°		 →
↑
568.04 m
↓
↑
568.04 m
↓
N 21.575719°
E 68.593140°		 ← 567.99 m →
322 635 m²		 N 21.575719°
E 68.598633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690544128417969 y=0.438591003417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690544128417969 × 216)
    floor (0.690544128417969 × 65536)
    floor (45255.5)     		tx = 45255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438591003417969 × 216)
    floor (0.438591003417969 × 65536)
    floor (28743.5)     		ty = 28743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45255 / 28743 ti = "16/45255/28743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45255/28743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45255 ÷ 216
    45255 ÷ 65536     		x = 0.690536499023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28743 ÷ 216
    28743 ÷ 65536     		y = 0.438583374023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690536499023438 × 2 - 1) × π
    0.381072998046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.19717613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438583374023438 × 2 - 1) × π
    0.122833251953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.385892041941452
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19717613} λ = 1.19717613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.385892041941452))-π/2
    2×atan(1.47092586394212)-π/2
    2×0.973726407611085-π/2
    1.94745281522217-1.57079632675     		φ = 0.37665649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19717613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.593140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37665649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.580827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45255 KachelY 28743 1.19717613 0.37665649 68.593140 21.580827
    Oben rechts KachelX + 1 45256 KachelY 28743 1.19727200 0.37665649 68.598633 21.580827
    Unten links KachelX 45255 KachelY + 1 28744 1.19717613 0.37656733 68.593140 21.575719
    Unten rechts KachelX + 1 45256 KachelY + 1 28744 1.19727200 0.37656733 68.598633 21.575719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37665649-0.37656733) × R
    8.91600000000325e-05 × 6371000     		dl = 568.038360000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37665649-0.37656733) × R
    8.91600000000325e-05 × 6371000     		dr = 568.038360000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19717613-1.19727200) × cos(0.37665649) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.929899618770935 × 6371000     		do = 567.971314472937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19717613-1.19727200) × cos(0.37656733) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.929932409317731 × 6371000     		du = 567.991342537892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37665649)-sin(0.37656733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929899618770935-0.929932409317731)×R²
    abs(1.19727200-1.19717613)×3.27905467963907e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.27905467963907e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.27905467963907e-05×40589641000000     		ar = 322635.182568741m²