Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45241 / 28839
↖ ↑ ↗
← N 21.089625°
E 68.516235°		 ← 569.88 m → N 21.089625°
E 68.521728°		 →
↑
569.89 m
↓
↑
569.89 m
↓
N 21.084500°
E 68.516235°		 ← 569.90 m →
324 770 m²		 N 21.084500°
E 68.521728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690330505371094 y=0.440055847167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690330505371094 × 216)
    floor (0.690330505371094 × 65536)
    floor (45241.5)     		tx = 45241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440055847167969 × 216)
    floor (0.440055847167969 × 65536)
    floor (28839.5)     		ty = 28839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45241 / 28839 ti = "16/45241/28839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45241/28839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45241 ÷ 216
    45241 ÷ 65536     		x = 0.690322875976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28839 ÷ 216
    28839 ÷ 65536     		y = 0.440048217773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690322875976562 × 2 - 1) × π
    0.380645751953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.19583390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440048217773438 × 2 - 1) × π
    0.119903564453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.376688157214401
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19583390} λ = 1.19583390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.376688157214401))-π/2
    2×atan(1.45744974331051)-π/2
    2×0.969439863985037-π/2
    1.93887972797007-1.57079632675     		φ = 0.36808340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19583390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.516235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36808340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.089625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45241 KachelY 28839 1.19583390 0.36808340 68.516235 21.089625
    Oben rechts KachelX + 1 45242 KachelY 28839 1.19592977 0.36808340 68.521728 21.089625
    Unten links KachelX 45241 KachelY + 1 28840 1.19583390 0.36799395 68.516235 21.084500
    Unten rechts KachelX + 1 45242 KachelY + 1 28840 1.19592977 0.36799395 68.521728 21.084500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36808340-0.36799395) × R
    8.94499999999909e-05 × 6371000     		dl = 569.885949999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36808340-0.36799395) × R
    8.94499999999909e-05 × 6371000     		dr = 569.885949999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19583390-1.19592977) × cos(0.36808340) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.933018704934227 × 6371000     		do = 569.876414155052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19583390-1.19592977) × cos(0.36799395) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.933050887804499 × 6371000     		du = 569.896071058618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36808340)-sin(0.36799395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933018704934227-0.933050887804499)×R²
    abs(1.19592977-1.19583390)×3.21828702727345e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.21828702727345e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.21828702727345e-05×40589641000000     		ar = 324770.162976535m²