Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45240 / 28840
↖ ↑ ↗
← N 21.084500°
E 68.510742°		 ← 569.96 m → N 21.084500°
E 68.516235°		 →
↑
569.95 m
↓
↑
569.95 m
↓
N 21.079375°
E 68.510742°		 ← 569.98 m →
324 852 m²		 N 21.079375°
E 68.516235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690315246582031 y=0.440071105957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690315246582031 × 216)
    floor (0.690315246582031 × 65536)
    floor (45240.5)     		tx = 45240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440071105957031 × 216)
    floor (0.440071105957031 × 65536)
    floor (28840.5)     		ty = 28840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45240 / 28840 ti = "16/45240/28840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45240/28840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45240 ÷ 216
    45240 ÷ 65536     		x = 0.6903076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28840 ÷ 216
    28840 ÷ 65536     		y = 0.4400634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6903076171875 × 2 - 1) × π
    0.380615234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19573802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4400634765625 × 2 - 1) × π
    0.119873046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.376592283415161
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19573802} λ = 1.19573802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.376592283415161))-π/2
    2×atan(1.45731001876449)-π/2
    2×0.969395137189625-π/2
    1.93879027437925-1.57079632675     		φ = 0.36799395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19573802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.510742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36799395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.084500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45240 KachelY 28840 1.19573802 0.36799395 68.510742 21.084500
    Oben rechts KachelX + 1 45241 KachelY 28840 1.19583390 0.36799395 68.516235 21.084500
    Unten links KachelX 45240 KachelY + 1 28841 1.19573802 0.36790449 68.510742 21.079375
    Unten rechts KachelX + 1 45241 KachelY + 1 28841 1.19583390 0.36790449 68.516235 21.079375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36799395-0.36790449) × R
    8.94600000000412e-05 × 6371000     		dl = 569.949660000262m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36799395-0.36790449) × R
    8.94600000000412e-05 × 6371000     		dr = 569.949660000262m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19573802-1.19583390) × cos(0.36799395) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.933050887804499 × 6371000     		do = 569.955515730319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19573802-1.19583390) × cos(0.36790449) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.933083066805759 × 6371000     		du = 569.975172320863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36799395)-sin(0.36790449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933050887804499-0.933083066805759)×R²
    abs(1.19583390-1.19573802)×3.21790012597356e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.21790012597356e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.21790012597356e-05×40589641000000     		ar = 324851.554255873m²