Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45234 / 28914
↖ ↑ ↗
← N 20.704739°
E 68.477783°		 ← 571.40 m → N 20.704739°
E 68.483277°		 →
↑
571.35 m
↓
↑
571.35 m
↓
N 20.699600°
E 68.477783°		 ← 571.42 m →
326 475 m²		 N 20.699600°
E 68.483277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690223693847656 y=0.441200256347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690223693847656 × 216)
    floor (0.690223693847656 × 65536)
    floor (45234.5)     		tx = 45234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441200256347656 × 216)
    floor (0.441200256347656 × 65536)
    floor (28914.5)     		ty = 28914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45234 / 28914 ti = "16/45234/28914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45234/28914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45234 ÷ 216
    45234 ÷ 65536     		x = 0.690216064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28914 ÷ 216
    28914 ÷ 65536     		y = 0.441192626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690216064453125 × 2 - 1) × π
    0.38043212890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.19516278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441192626953125 × 2 - 1) × π
    0.11761474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.369497622271393
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19516278} λ = 1.19516278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.369497622271393))-π/2
    2×atan(1.44700748769747)-π/2
    2×0.966081094107571-π/2
    1.93216218821514-1.57079632675     		φ = 0.36136586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19516278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.477783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36136586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.704739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45234 KachelY 28914 1.19516278 0.36136586 68.477783 20.704739
    Oben rechts KachelX + 1 45235 KachelY 28914 1.19525866 0.36136586 68.483277 20.704739
    Unten links KachelX 45234 KachelY + 1 28915 1.19516278 0.36127618 68.477783 20.699600
    Unten rechts KachelX + 1 45235 KachelY + 1 28915 1.19525866 0.36127618 68.483277 20.699600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36136586-0.36127618) × R
    8.96799999999809e-05 × 6371000     		dl = 571.351279999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36136586-0.36127618) × R
    8.96799999999809e-05 × 6371000     		dr = 571.351279999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19516278-1.19525866) × cos(0.36136586) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.93541479355124 × 6371000     		do = 571.399511054295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19516278-1.19525866) × cos(0.36127618) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.935446496351702 × 6371000     		du = 571.418876756877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36136586)-sin(0.36127618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93541479355124-0.935446496351702)×R²
    abs(1.19525866-1.19516278)×3.17028004614972e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.17028004614972e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.17028004614972e-05×40589641000000     		ar = 326475.374560521m²