Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45233 / 28911
↖ ↑ ↗
← N 20.720153°
E 68.472290°		 ← 571.28 m → N 20.720153°
E 68.477783°		 →
↑
571.29 m
↓
↑
571.29 m
↓
N 20.715015°
E 68.472290°		 ← 571.30 m →
326 372 m²		 N 20.715015°
E 68.477783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690208435058594 y=0.441154479980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690208435058594 × 216)
    floor (0.690208435058594 × 65536)
    floor (45233.5)     		tx = 45233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441154479980469 × 216)
    floor (0.441154479980469 × 65536)
    floor (28911.5)     		ty = 28911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45233 / 28911 ti = "16/45233/28911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45233/28911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45233 ÷ 216
    45233 ÷ 65536     		x = 0.690200805664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28911 ÷ 216
    28911 ÷ 65536     		y = 0.441146850585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690200805664062 × 2 - 1) × π
    0.380401611328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.19506691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441146850585938 × 2 - 1) × π
    0.117706298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.369785243669113
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19506691} λ = 1.19506691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.369785243669113))-π/2
    2×atan(1.44742373787196)-π/2
    2×0.966215609921544-π/2
    1.93243121984309-1.57079632675     		φ = 0.36163489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19506691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.472290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36163489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.720153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45233 KachelY 28911 1.19506691 0.36163489 68.472290 20.720153
    Oben rechts KachelX + 1 45234 KachelY 28911 1.19516278 0.36163489 68.477783 20.720153
    Unten links KachelX 45233 KachelY + 1 28912 1.19506691 0.36154522 68.472290 20.715015
    Unten rechts KachelX + 1 45234 KachelY + 1 28912 1.19516278 0.36154522 68.477783 20.715015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36163489-0.36154522) × R
    8.96699999999861e-05 × 6371000     		dl = 571.287569999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36163489-0.36154522) × R
    8.96699999999861e-05 × 6371000     		dr = 571.287569999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19506691-1.19516278) × cos(0.36163489) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.93531964355046 × 6371000     		do = 571.281799321368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19506691-1.19516278) × cos(0.36154522) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.935351365381345 × 6371000     		du = 571.301174627714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36163489)-sin(0.36154522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93531964355046-0.935351365381345)×R²
    abs(1.19516278-1.19506691)×3.17218308849565e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.17218308849565e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.17218308849565e-05×40589641000000     		ar = 326371.725574047m²