Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45232 / 28944
↖ ↑ ↗
← N 20.550509°
E 68.466797°		 ← 571.98 m → N 20.550509°
E 68.472290°		 →
↑
571.92 m
↓
↑
571.92 m
↓
N 20.545365°
E 68.466797°		 ← 572 m →
327 134 m²		 N 20.545365°
E 68.472290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690193176269531 y=0.441658020019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690193176269531 × 216)
    floor (0.690193176269531 × 65536)
    floor (45232.5)     		tx = 45232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441658020019531 × 216)
    floor (0.441658020019531 × 65536)
    floor (28944.5)     		ty = 28944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45232 / 28944 ti = "16/45232/28944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45232/28944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45232 ÷ 216
    45232 ÷ 65536     		x = 0.690185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28944 ÷ 216
    28944 ÷ 65536     		y = 0.441650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690185546875 × 2 - 1) × π
    0.38037109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19497103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441650390625 × 2 - 1) × π
    0.11669921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.366621408294189
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19497103} λ = 1.19497103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.366621408294189))-π/2
    2×atan(1.44285156406409)-π/2
    2×0.964735184974589-π/2
    1.92947036994918-1.57079632675     		φ = 0.35867404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19497103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.466797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35867404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.550509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45232 KachelY 28944 1.19497103 0.35867404 68.466797 20.550509
    Oben rechts KachelX + 1 45233 KachelY 28944 1.19506691 0.35867404 68.472290 20.550509
    Unten links KachelX 45232 KachelY + 1 28945 1.19497103 0.35858427 68.466797 20.545365
    Unten rechts KachelX + 1 45233 KachelY + 1 28945 1.19506691 0.35858427 68.472290 20.545365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35867404-0.35858427) × R
    8.97700000000445e-05 × 6371000     		dl = 571.924670000284m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35867404-0.35858427) × R
    8.97700000000445e-05 × 6371000     		dr = 571.924670000284m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19497103-1.19506691) × cos(0.35867404) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.936363102350712 × 6371000     		do = 571.978786887949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19497103-1.19506691) × cos(0.35858427) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.936394610806775 × 6371000     		du = 571.998033874967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35867404)-sin(0.35858427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936363102350712-0.936394610806775)×R²
    abs(1.19506691-1.19497103)×3.1508456062479e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.1508456062479e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.1508456062479e-05×40589641000000     		ar = 327134.283071027m²