Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45219 / 28895
↖ ↑ ↗
← N 20.802337°
E 68.395385°		 ← 571.03 m → N 20.802337°
E 68.400879°		 →
↑
571.03 m
↓
↑
571.03 m
↓
N 20.797201°
E 68.395385°		 ← 571.05 m →
326 083 m²		 N 20.797201°
E 68.400879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689994812011719 y=0.440910339355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689994812011719 × 216)
    floor (0.689994812011719 × 65536)
    floor (45219.5)     		tx = 45219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440910339355469 × 216)
    floor (0.440910339355469 × 65536)
    floor (28895.5)     		ty = 28895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45219 / 28895 ti = "16/45219/28895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45219/28895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45219 ÷ 216
    45219 ÷ 65536     		x = 0.689987182617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28895 ÷ 216
    28895 ÷ 65536     		y = 0.440902709960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689987182617188 × 2 - 1) × π
    0.379974365234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19372467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440902709960938 × 2 - 1) × π
    0.118194580078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.371319224456955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19372467} λ = 1.19372467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.371319224456955))-π/2
    2×atan(1.44964576191309)-π/2
    2×0.96693279622028-π/2
    1.93386559244056-1.57079632675     		φ = 0.36306927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19372467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.395385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36306927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.802337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45219 KachelY 28895 1.19372467 0.36306927 68.395385 20.802337
    Oben rechts KachelX + 1 45220 KachelY 28895 1.19382055 0.36306927 68.400879 20.802337
    Unten links KachelX 45219 KachelY + 1 28896 1.19372467 0.36297964 68.395385 20.797201
    Unten rechts KachelX + 1 45220 KachelY + 1 28896 1.19382055 0.36297964 68.400879 20.797201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36306927-0.36297964) × R
    8.96300000000072e-05 × 6371000     		dl = 571.032730000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36306927-0.36297964) × R
    8.96300000000072e-05 × 6371000     		dr = 571.032730000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19372467-1.19382055) × cos(0.36306927) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.934811192373231 × 6371000     		do = 571.030800382701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19372467-1.19382055) × cos(0.36297964) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.934843020272642 × 6371000     		du = 571.050242502162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36306927)-sin(0.36297964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934811192373231-0.934843020272642)×R²
    abs(1.19382055-1.19372467)×3.1827899411363e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.1827899411363e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.1827899411363e-05×40589641000000     		ar = 326082.828118377m²