Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 45216 / 28959
↖ ↑ ↗
← N 20.473335°
E 68.378906°		 ← 572.27 m → N 20.473335°
E 68.384400°		 →
↑
572.24 m
↓
↑
572.24 m
↓
N 20.468189°
E 68.378906°		 ← 572.29 m →
327 481 m²		 N 20.468189°
E 68.384400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689949035644531 y=0.441886901855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689949035644531 × 216)
    floor (0.689949035644531 × 65536)
    floor (45216.5)     		tx = 45216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441886901855469 × 216)
    floor (0.441886901855469 × 65536)
    floor (28959.5)     		ty = 28959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45216 / 28959 ti = "16/45216/28959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45216/28959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45216 ÷ 216
    45216 ÷ 65536     		x = 0.68994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28959 ÷ 216
    28959 ÷ 65536     		y = 0.441879272460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68994140625 × 2 - 1) × π
    0.3798828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.19343705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441879272460938 × 2 - 1) × π
    0.116241455078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.365183301305588
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19343705} λ = 1.19343705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.365183301305588))-π/2
    2×atan(1.44077808044929)-π/2
    2×0.964061720042286-π/2
    1.92812344008457-1.57079632675     		φ = 0.35732711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19343705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.378906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35732711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.473335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45216 KachelY 28959 1.19343705 0.35732711 68.378906 20.473335
    Oben rechts KachelX + 1 45217 KachelY 28959 1.19353293 0.35732711 68.384400 20.473335
    Unten links KachelX 45216 KachelY + 1 28960 1.19343705 0.35723729 68.378906 20.468189
    Unten rechts KachelX + 1 45217 KachelY + 1 28960 1.19353293 0.35723729 68.384400 20.468189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35732711-0.35723729) × R
    8.98200000000182e-05 × 6371000     		dl = 572.243220000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35732711-0.35723729) × R
    8.98200000000182e-05 × 6371000     		dr = 572.243220000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19343705-1.19353293) × cos(0.35732711) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.936835069651129 × 6371000     		do = 572.26708881192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19343705-1.19353293) × cos(0.35723729) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.936866482341783 × 6371000     		du = 572.286277300497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35732711)-sin(0.35723729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936835069651129-0.936866482341783)×R²
    abs(1.19353293-1.19343705)×3.14126906549861e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.14126906549861e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.14126906549861e-05×40589641000000     		ar = 327481.452063253m²