Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45216 / 28896
↖ ↑ ↗
← N 20.797201°
E 68.378906°		 ← 571.05 m → N 20.797201°
E 68.384400°		 →
↑
571.03 m
↓
↑
571.03 m
↓
N 20.792066°
E 68.378906°		 ← 571.07 m →
326 094 m²		 N 20.792066°
E 68.384400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689949035644531 y=0.440925598144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689949035644531 × 216)
    floor (0.689949035644531 × 65536)
    floor (45216.5)     		tx = 45216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440925598144531 × 216)
    floor (0.440925598144531 × 65536)
    floor (28896.5)     		ty = 28896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45216 / 28896 ti = "16/45216/28896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45216/28896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45216 ÷ 216
    45216 ÷ 65536     		x = 0.68994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28896 ÷ 216
    28896 ÷ 65536     		y = 0.44091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68994140625 × 2 - 1) × π
    0.3798828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.19343705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44091796875 × 2 - 1) × π
    0.1181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.371223350657715
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19343705} λ = 1.19343705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.371223350657715))-π/2
    2×atan(1.44950678552855)-π/2
    2×0.966887983507061-π/2
    1.93377596701412-1.57079632675     		φ = 0.36297964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19343705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.378906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36297964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.797201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45216 KachelY 28896 1.19343705 0.36297964 68.378906 20.797201
    Oben rechts KachelX + 1 45217 KachelY 28896 1.19353293 0.36297964 68.384400 20.797201
    Unten links KachelX 45216 KachelY + 1 28897 1.19343705 0.36289001 68.378906 20.792066
    Unten rechts KachelX + 1 45217 KachelY + 1 28897 1.19353293 0.36289001 68.384400 20.792066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36297964-0.36289001) × R
    8.96300000000072e-05 × 6371000     		dl = 571.032730000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36297964-0.36289001) × R
    8.96300000000072e-05 × 6371000     		dr = 571.032730000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19343705-1.19353293) × cos(0.36297964) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.934843020272642 × 6371000     		do = 571.050242500839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19343705-1.19353293) × cos(0.36289001) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.934874840661958 × 6371000     		du = 571.069680032747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36297964)-sin(0.36289001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934843020272642-0.934874840661958)×R²
    abs(1.19353293-1.19343705)×3.18203893155955e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.18203893155955e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.18203893155955e-05×40589641000000     		ar = 326093.928894062m²