Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45215 / 28961
↖ ↑ ↗
← N 20.463043°
E 68.373413°		 ← 572.25 m → N 20.463043°
E 68.378906°		 →
↑
572.24 m
↓
↑
572.24 m
↓
N 20.457896°
E 68.373413°		 ← 572.26 m →
327 469 m²		 N 20.457896°
E 68.378906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689933776855469 y=0.441917419433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689933776855469 × 216)
    floor (0.689933776855469 × 65536)
    floor (45215.5)     		tx = 45215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441917419433594 × 216)
    floor (0.441917419433594 × 65536)
    floor (28961.5)     		ty = 28961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45215 / 28961 ti = "16/45215/28961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45215/28961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45215 ÷ 216
    45215 ÷ 65536     		x = 0.689926147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28961 ÷ 216
    28961 ÷ 65536     		y = 0.441909790039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689926147460938 × 2 - 1) × π
    0.379852294921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.19334118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441909790039062 × 2 - 1) × π
    0.116180419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.364991553707108
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19334118} λ = 1.19334118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.364991553707108))-π/2
    2×atan(1.44050184119737)-π/2
    2×0.963971899093476-π/2
    1.92794379818695-1.57079632675     		φ = 0.35714747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19334118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.373413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35714747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.463043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45215 KachelY 28961 1.19334118 0.35714747 68.373413 20.463043
    Oben rechts KachelX + 1 45216 KachelY 28961 1.19343705 0.35714747 68.378906 20.463043
    Unten links KachelX 45215 KachelY + 1 28962 1.19334118 0.35705765 68.373413 20.457896
    Unten rechts KachelX + 1 45216 KachelY + 1 28962 1.19343705 0.35705765 68.378906 20.457896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35714747-0.35705765) × R
    8.98200000000182e-05 × 6371000     		dl = 572.243220000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35714747-0.35705765) × R
    8.98200000000182e-05 × 6371000     		dr = 572.243220000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19334118-1.19343705) × cos(0.35714747) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.936897887474144 × 6371000     		do = 572.245771408031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19334118-1.19343705) × cos(0.35705765) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.936929285047957 × 6371000     		du = 572.264948662124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35714747)-sin(0.35705765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936897887474144-0.936929285047957)×R²
    abs(1.19343705-1.19334118)×3.13975738128747e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.13975738128747e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.13975738128747e-05×40589641000000     		ar = 327469.250109114m²